Разложение квадратного трехчлена на множители

Любое число можно записать бесконечным количеством разных способов. Все эти способы можно разделить на две категории: запись через сумму слагаемых (сложение) и через произведение множителей (умножение).

Может показаться, что принципиальной разницы между всеми этими записями нет. Записывай все через плюс и бед не знай. Однако запись через множители тоже бывает полезна. Почему? Потому что в сложных выражениях запись через множители позволяет проводить сокращение, а через слагаемые — нет. Посмотрите сами на примере с числом 42:

Ровно так же, как обычные числа можно записывать через сложение или умножение, квадратные трёхчлены тоже можно записывать двумя способами. До сих пор мы работали с записями только через сложение, например:

Ну и как это перезаписать через умножение? Это же невозможно! Но если немного поколдовать со средним членом и два раза подряд вынести общий множитель за скобки, можно совершить темную магию:

У нас была сумма из трех слагаемых ($x^2$, 8x и 15), а получилось произведение из двух множителей (x + 3 и x + 5). Процесс, который мы провели, называется разложением квадратного трёхчлена на множители:

Представьте, что у нас было бы сложное выражение. С записью через сумму мы бы ничего не сделали, а вот с записью через множители можем упростить!

Только не надо думать, что теперь всё и всегда надо записывать через умножение. Это не так и существует бесчисленное количество ситуаций, где запись через сумму упростит выражение, а запись через множители обосрется:

Это очень правильный вопрос. Мало нам что ли морального и духовного разложения? Теперь будем разлагать ещё и юные и невинные квадратные трёхчлены?! Причины делать так всё же есть, причём их много, и все они довольно веские:

Из-за этих многочисленных плюсов чаще всего квадратные трёхчлены предпочитают записывать всё же в форме множителей и лишь при редких исключениях и большой необходимости быстренько раскрывать скобки и получать запись через сумму.

На всякий случай ещё раз обратим внимание: не путайте квадратный трёхчлен и квадратное уравнение. Квадратный трёхчлен это обычное выражение, совсем не обязательно связанное с равенствами или уравнениями! Когда мы раскладываем его на множители, мы просто перезаписываем его в другом виде.

Квадратное уравнение же это не обычное выражение, а равенство, в котором обязательно есть знак равно «=», с одной стороны от которого обязательно находится какой-нибудь квадратный трёхчлен, а с другой стороны обязательно стоит ноль. Конечно же, «внутри» квадратного уравнения квадратный трёхчлен тоже можно разложить на множители:

Как видите, «побочным эффектом» такого разложения является то, что мы сразу начинаем видеть корни этого квадратного уравнения: –3 и –5.

Запись числа 42 в виде $2 \cdot 3 \cdot 7$, как и запись квадратного трёхчлена $x^2 + 8x + 15$ в виде $(x + 3)\cdot(x + 5)$ — всё это называется разложением на множители. Разложить число на множители обычно легко, а вот разложение трёхчлена превращается в мини-загадку. Сейчас мы научимся разгадывать эту загадку.

Основной трюк всегда заключается в том, чтобы разложить коэффициенты B и C на два каких-нибудь числа, назовем их t и k. Причем разложить надо не как попало (таких разложений бесконечно много), а только так, чтобы их сумма t + k давала коэффициент B, а произведение $t \cdot k$ давало коэффициент C!

Почему именно B через сложение, а C через умножение? Почему не оба через сложение или оба через умножение? А потому что теперь мы можем провести сокрушительную комбинацию из многократного вынесения за скобки общего множителя, ведь именно это действие и приводит к появлению «умножения» в выражениях.

Сначала выносим за скобки x из первого и второго слагаемых. Потом выносим за скобки k из второго и третьего слагаемых. Наконец, выносим за скобки образовавшийся общий множитель (x + t). Вот мы и разложили квадратный трёхчлен на множители!

Вам наверняка хотелось бы увидеть визуализацию процесса? Она действительно имеется и прекрасно демонстрирует, почему числа t и k надо как складывать, так и умножать. Мы имеем квадратик площадью $x^2$, прямоугольник площадью Bx и некую бесформенную фигуру площадью C. Прямоугольник Bx мы делим на два прямоугольника поменьше так, чтобы оставшееся место можно было заполнить прямоугольником $t \cdot k = C$. Короче, во время выделения полного квадрата мы из фигурок делали квадрат, а сейчас из них мы делаем прямоугольник.

Теперь, когда вы поняли основную фишку, нужно обязательно закрепить её применение на разнообразных примерах. Обязательно попытайтесь самостоятельно решить каждый из них!

Трюкачество и визуализации, конечно, круты, но подходят лишь для частных случаев. Как и в случае с общей формулой корней квадратного уравнения, нам нужно провести разложение не конкретных квадратных трёхчленов, а сразу их стандартного вида:

План у нас следующий. Мы выделим полный квадрат в квадратном трёхчлене, а затем воспользуемся формулой сокращенного умножения «разность квадратов», чтобы получить финальные множители разложения. В упрощенном виде выглядеть это будет примерно вот так:

Приступим! Сначала нам надо избавиться от коэффициента A при $x^2$. Зачем? Потому что мы не знаем его знак. Не дай бог окажется, что это отрицательное число, тогда мы не сможем взять корень из $Ax^2$! Поэтому выносим его за скобки из всех трех слагаемых:

Свободный член C/A пока что не трогаем. Он нам понадобится для разности квадратов. Оставшиеся два слагаемых будем запаковывать в квадрат суммы $a^2 + 2ab + b^2 = (a+b)^2$. Но данных для выделения полного квадрата нам не хватает! Нет двойки и нет третьего слагаемого, играющего роль $b^2$. Поэтому мы вынуждены добавить эти недостающие элементы, а потом отнять их же, чтобы не менять значение выражения:

Дробь $\frac{B}{2A}$ естественным образом становится b, потому что роль a уже играет x. Для выделения полного квадрата нам не хватает только добавить и компенсировать $b^2$:

Замечаем нашего старого знакомого — дискриминант. Проводим замену, чтобы упростить и без того сложное выражение:

Мы успешно выделили полный квадрат. Замечаем, что внутри скобок у нас как раз получается разность квадратов. Точнее «получится» она только если дискриминант $D \geq 0$ (только в этом случае из него получится взять корень). Примем это условие и наконец завершим разложение на множители:

Замечаем, что рядом с x в обеих скобках мы почти получили формулы обоих возможных корней квадратного уравнения. Для полного совпадения нужно только вынести из числителей минус за скобки:

Вот и всё, этот кошмар закончился. Как видите, процесс разложения квадратного трёхчлена в стандартном виде практически повторяет вывод общей формулы корней квадратного уравнения. Отличие лишь в том, что у нас нет уравнения, нет его «левой» и «правой» сторон, поэтому вместо взятия квадратного корня «из обеих сторон уравнения» мы воспользовались формулой разности квадратов.

Больше не нужны никакие трюки. Для разложения на множители квадратного трёхчлена нужно просто любым удобным для вас образом решить соответствующее ему квадратное уравнение! Если же корней у уравнения нет, то разложить на множители квадратный трёхчлен невозможно. Потренируемся выполнять эту процедуру на примерах:

Разложение квадратного трёхчлена на множители можно представить в виде сборки из нескольких фигурок цельного прямоугольника, это мы уже видели. Однако, это визуализацию можно распространить и для отрицательных чисел t и k, на которые мы разбиваем коэффициенты B и C. Для этого нужно изобразить оба этих числа на координатной плоскости, где t будет осью абсцисс, а k — осью ординат (или наоборот).

Любая точка на этой координатной плоскости будет обозначать какой-то квадратный трёхчлен! Назвать её тоже можно соответствующим образом, например, плоскость «прямоугольных» трёхчленов. Как вам? 😎

Коэффициент A мы не учитываем, потому что его всегда можно вынести за скобки, и получится трёхчлен без коэффициента A. У них даже отдельное название есть — приведённые квадратные трёхчлены.

Получается, все квадратные трёхчлены можно разделить на две категории: