Основы математикиУравненияКвадратные уравнения

Что такое квадратное уравнение?

Разберемся, что вообще такое квадратное уравнение и квадратный трехчлен. Как эти термины появились, чем они похожи, а чем отличаются. Научимся определять, является ли уравнение квадратным.
Ключевые элементы:
Связи:
Статистика:
Термин2
Важно1
Задача5
СтатьяКонспектЗадачи

Квадрат всё усложняет

Почти все элементарные уравнения мы решаем путём упрощения их шаг за шагом до тех пор, пока не получим тривиальное равенство вида x = A или A = x (что одно и то же), где A — это какое-то число, которое и является решением уравнения. Может показаться, что теперь мы всесильны и можем решать вообще любые уравнения! Ну что же, давайте это проверим!

Уравнения с нюансом…

Прикладная
👀
Пример
Древнегреческий царь (их называли басилевсами) приказал соорудить роскошный сад площадью 36 квадратных метров. При этом одна из его сторон обязательно должна быть на 5 метров длиннее другой. Какая длина и ширина должна быть у сада?
Древние мудрецы в замешательстве…
Как видите, подобные уравнения встречаются регулярно. Это не какой-то уникальный случай. Подобные уравнения, в которых неизвестная встречается во второй степени, встречаются повсеместно. Негоже, когда чёртовы сады, рамки для картинок и простые задачи на движение могут сломать наши уравнения и завести нас в тупик! Надо срочно придумать, как решать подобные уравнения!

Квадратный трехчлен

Чтобы решать такие уравнения, надо сначала понять, с чем мы имеем дело. Кажется очевидным квадратными считать уравнения, в которых есть x2x^2. Но, как и всегда, самое очевидное решение может оказаться не самым лучшим. У такого подхода есть серьёзные недостатки:
  1. 1
    Квадрата может не быть, а уравнение всё равно квадратное!
    В примерах про сад и картину в рамке выше мы уже убедились, что квадратным может оказаться уравнение, в котором изначально вообще нет никаких квадратов, но после преобразований они появляются.
    x(x+5)=36⇒x2+5x−36=0(8+2w)(10+2w)=160⇒4w2+36w+80=160x(x+5) = 36 \Rightarrow x^2 + 5x - 36 = 0 \\ (8 + 2w)(10 + 2w) = 160 \Rightarrow 4w^2 + 36w + 80 = 160
  2. 2
    Квадрат может быть, а уравнение не квадратное!
    Иногда имеющийся x2x^2 в процессе преобразований уничтожается и роли никакой не играет:
    x2+x=x2+5− x2 ∣ x2+x=x2+5 ∣−x2−x2+x2+x=x2+5−x2x=5x^2 + x = x^2 + 5 \\ \brand{ - \ x^2 \ } | \ x^2 + x = x^2 + 5 \ | \brand{ - x^2 } \\ - \cancel{x^2} + \cancel{x^2} + x = \cancel{x^2} + 5 - \cancel{x^2} \\ \boxed{x = 5}
Наш враг хитёр и коварен! Квадратные уравнения могут мимикрировать, пряча свой квадрат, а могут, имея явный квадрат, вовсе не являться квадратными! Но математики тоже не промах и смогли придумать классный способ точно определить, является ли уравнение квадратным или нет.
Как и в любом хорошем детективе, сначала математики проанализировали все уравнения и выделили «модус операнди», общий портрет, который характерен для всех квадратных уравнений. Этот портрет они совершенно вульгарно назвали квадратным трёхчленом.

Квадратный трёхчлен

Любой многочлен, записанный в следующем «стандартном» виде:
Ax2+Bx+C,A≠0Ax^2 + Bx + C, \quad A \neq 0
Например:
3x2+x+10AA=3, B=1, C=10A\underset{{\large\phantom{A}} A = 3, \ B = 1, \ C=10 {\large\phantom{A}}}{3x^2 + x + 10}
x2−5AA=1, B=0, C=−5A \underset{{\large\phantom{A}} A = 1, \ B = 0, \ C=-5 {\large\phantom{A}}}{x^2 - 5}
−x2AA=−1, B=0, C=0A \underset{{\large\phantom{A}} A = -1, \ B = 0, \ C=0 {\large\phantom{A}}}{-x^2}
  • Почему квадратный?
    Потому что максимальная степень переменной в нем равна двум, то есть «переменная в квадрате».
  • Почему трёхчлен?
    Потому что состоит из трёх слагаемых (одночленов): Ax2Ax^2, Bx и C. А даже если их и меньше, как например у x2+3x^2 + 3, то недостающее слагаемое можно считать равным нулю: x2+0x+3x^2 + 0x + 3.
  • Почему A≠0A \neq 0?
    Потому что при A = 0 умножающийся на него x2x^2 обнуляется и исчезает. И многочлен уже никакой не квадратный! «Квадрата», то есть второй степени, в нём нет.
Вполне естественно, что все эти многочисленные упоминания «членов» вызывают смешки, особенно у скучающих на уроках подростков: одночлен, двучлен, трёхчлен, многочлен… Трёхчленам в этом плане не повезло больше всех, ведь им и вытекающим из них квадратным уравнениям достаётся львиная доля учебного времени. В итоге, словно в акте отчаянного бунта против принудительной закачки знаний, руками гениальных анонимных художников из 7 «Г» класса человечество получило бессмертные произведения искусства (18+) про квадратные трёхчлены. Один раз это увидев, развидеть уже невозможно…

Квадратное уравнение

Квадратные трёхчлены — это общее название для математических выражений определённого вида. Они иногда используются сами по себе, но сейчас важно то, что с их помощью мы можем сформулировать твёрдое и чёткое определение квадратных уравнений.

Квадратное уравнение

Общим видом квадратного уравнения называется любое уравнение, в котором с одной стороны стоит квадратный трёхчлен, а с другой ноль:
Ax2+Bx+C⏞Квадратный трёхчлен=0⏟Квадратное уравнение,A≠0\underbrace{\overbrace{Ax^2 + Bx + C}^{\text{Квадратный трёхчлен}} = 0}_{\text{Квадратное уравнение}}, \quad A \neq 0
Любое уравнение, которое имеет этот общий вид или может быть к нему сведено преобразованиями без изменения корней, называется квадратным уравнением:
−3x2+6x+9=0-3x^2 + 6x + 9 = 0
80+j=5j2−10⏟5j2−j−90=0 \underbrace{80 + j = 5j^2 - 10}_{5j^2 - j - 90 = 0}
y2=0⏟y2+0y+0=0 \underbrace{y^2 = 0}_{y^2 + 0y + 0 = 0}
(t+2)(5−t)=0⏟−t2+3t+10=0 \underbrace{(t+2)(5-t) = 0}_{-t^2 + 3t + 10 = 0}

Важна степень, а не положение

Подавляющее количество новичков путается при определении коэффициентов A, B и C в квадратном уравнении. Коэффициенты привязаны к x и его степени. А вот положения, в которых они стоят, не имеют значения!
  1. 1
    Коэффициент A всегда стоит рядом с x2x^2.
  2. 2
    Коэффициент B всегда стоит рядом с x.
  3. 3
    Коэффициент C всегда стоит в одиночестве. Никаких переменных рядом с ним нет!
Рассмотрим пример −3+4x2−2x=0-3 + 4x^2 - 2x = 0. Помним, что A всегда перед x2x^2, поэтому он равен 4. B всегда перед x, поэтому он равен –2. В одиночестве стоит –3, это коэффициент C.
Теперь мы узнали врага в лицо и поняли, что коэффициенты зависят не от положения в уравнении, а от того, рядом с какой степенью x они стоят. Давайте потренируемся определять, являются ли уравнения квадратными и находить их коэффициенты A, B и C.

Квадратное или нет?

😀
Ликбез
Проверьте, является ли уравнение квадратным или нет. Если уравнение квадратное, при помощи правила одинакового действия приведите его к общему виду и найдите, чему равны его коэффициенты A, B и C.
2x2+3x−5=02x^2 + 3x - 5 = 0
Новички и в целом плохо разобравшиеся в этой теме люди регулярно путаются и используют термины «квадратный трёхчлен» и «квадратное уравнение» как синонимы. На всякий случай ещё раз внесём ясность. Квадратный трёхчлен и квадратное уравнение — это и близко НЕ одно и то же, а совершенно разные математические объекты! Квадратный трёхчлен — это просто выражение определённого вида, причём иногда в составе ещё более сложных выражений!
Например, внутри сложного выражения ниже можно отыскать целых три квадратных трёхчлена (выделены цветом):
5x2+12x−8−y+2y2+42z2−3z+1\frac{\brand{5x^2 + \dfrac{1}{\sqrt{2}}x - 8} - \sqrt{\dfrac{\brand{y + 2y^2 + 4}}{2}}}{\brand{z^2 - 3z + 1}}
Иногда квадратные трёхчлены могут встретиться в уравнениях. И вот если удаётся уравнение свести к виду «с одной стороны квадратный трёхчлен, а с другой ноль», тогда такие уравнения мы называем «квадратными»:
10x2−20x+100⏞Квадратный трёхчлен=0⏟Квадратное уравнение\underbrace{\overbrace{10x^2 - 20x + 100}^{\text{Квадратный трёхчлен}} = 0}_{\text{Квадратное уравнение}}

Зачем это всё?

И зачем мы столько времени потратили на эти квадратные трёхчлены, давали их коэффициентам названия и делали прочие странные вещи? Причины две:
  1. 1
    Теперь мы чётко научились определять, какие уравнения являются квадратными.
  2. 2
    Мы строго определили ключевые понятия. Уже с использованием этих понятий мы выведем формулы для решения квадратных уравнений и изучим их занимательные и полезные свойства.