Формулы квадратных уравнений

Дополнение
Наглядные схемы всех формул, понятий и методов решения квадратных уравнений, с учётом логики их вывода. Набор смешанных задач, которые сводятся к квадратным трёхчленам и квадратным уравнениям.

Связи:

Статистика:

  • Важно1
  • Задача13
  • Обновлено
Статья
Конспект
Практика
В задачах на этой странице вы можете использовать все методы и формулы, связанные с квадратными уравнениями:
  • 1
    Неполная форма
  • 2
    Выделение полного квадрата
  • 3
    Общая формула корней
  • 4
    Разложение на множители
  • 5
    Теорема Виета
  • 6
    Решение квадратных уравнений в уме
    • Бросайте в бой все в любом порядке!
    Главное — выйти победителем наиболее эффектным и эффективным способом. 😎

    Это финал, а не начало!

    Задачи здесь рассчитаны на то, что вы уже знакомы со всеми формулами и умеете их использовать! Если у вас с этим проблемы, обязательно прорешайте задачи из практикума каждой из перечисленных выше тем, а потом возвращайтесь сюда.

    Число и его обратное

    😀
    Ликбез
    Сумма числа и его обратного равна 52\dfrac{5}{2}. Найдите число.

    Последовательные квадраты

    😀
    Ликбез
    Сумма квадратов двух идущих друг за другом четных чисел равна 244. Найдите эти числа.

    Всё и сразу!

    😀
    Ликбез
    Решите квадратное уравнение всеми возможными способами, а затем разложите его на множители:
    4m2+m−3=04m^2 + m - 3 = 0

    Гадание на кофейной гуще

    Прием
    🤔
    Нормальный
    Решите квадратные уравнения, не используя общих формул корней:
    463x2−102x−361=0463x^2 - 102x - 361 = 0

    Бой с тенью

    Красивая
    🤔
    Нормальный
    Решите квадратное уравнение, не используя общих формул корней:
    2x2−5x−7=2⋅(35)2−5⋅(35)−72x^2 - 5x - 7 = 2 \cdot \left(\frac{3}{5}\right)^2 - 5 \cdot \left(\frac{3}{5}\right) - 7

    Неспешный поезд

    🤔
    Нормальный
    Поезд проезжает 200 километров с постоянной скоростью. Если бы он ехал на 10 километров в час быстрее, то проехал бы это расстояние на 1 час меньше. С какой скоростью ехал поезд?

    Тонкая настройка

    🤔
    Нормальный
    При каких значениях k произведение корней квадратного уравнения ниже равно нулю?
    x2+3x+(k2−7k+12)=0x^2 + 3x + (k^2 - 7k + 12) = 0

    Превосходство «C»

    🤔
    Нормальный
    Выведите общие формулы для решения любых квадратных уравнений вида:
    x2+2x+C=0x^2 + 2x + C = 0
    При каких условиях у этого уравнения есть решения?

    Вечный оптимист

    🤔
    Нормальный
    Правда ли, что если все слагаемые квадратного уравнения в общем виде со знаком +, например 3x2+x+100=03x^2 + x + 100 = 0, то у него нет решений? Ведь мы складываем три положительных числа, которые в сумме уж никак не могут дать 0!
    Если это не так, то приведите контрпример и подробно объясните, почему эта логика ошибочна.

    Замена переменной

    Прием
    Красивая
    🤔
    Нормальный
    Решите уравнение:
    x4−7x2−144=0x^4 - 7x^2 - 144 = 0

    Кровью и потом

    🤯
    Продвинутый
    Решите уравнение:
    x2+x+23x2+5x−14=x2+x+63x2+5x−10\frac{x^2+x+2}{3x^2+5x-14} = \frac{x^2+x+6}{3x^2+5x-10}

    Взлёты и падения

    Прием
    🤯
    Продвинутый
    При каком значении параметра m сумма квадратов корней уравнения наименьшая?
    x2+(2−m)x−m−3=0x^2 + (2-m)x - m - 3 = 0

    Квадратные корневые классы

    Красивая
    🤯
    Продвинутый
    Три уравнения ниже имеют одинаковые корни и отличаются друг от друга только единым множителем, на который были умножены все коэффициенты.
    x2+6x−7=0Приведённое\underset{\text{Приведённое}}{x^2 + 6x - 7 = 0}
    2x2+12x−14=0Умножено на 2 \underset{\text{Умножено на }2}{2x^2 + 12x - 14 = 0}
    3x2+18x−21=0Умножено на 3 \underset{\text{Умножено на }3}{3x^2 + 18x - 21 = 0}
    Поделив обе части второго уравнения на 2, а третьего на 3, мы вновь получим исходное первое уравнение. Умножив обе части второго уравнения на 32\frac{3}{2}, мы получим третье уравнение. Короче, все три уравнения можно свести друг к другу умножением на какое-то число.
    А существуют ли два уравнения с одинаковыми корнями, которые невозможно свести друг к другу умножением на какое-то число? Если существуют, приведите пример таких уравнений. Если не существуют, строго докажите это.
    Формулы квадратных уравнений