Основы математикиУравнения

Элементарные уравнения

Научимся решать простейшие уравнения и преобразовывать равенства. Просто, наглядно, с примерами и без заучивания наизусть кучи странных правил. Это ключевой и необходимый навык в математике и всех остальных точных науках.
Ключевые элементы:
Связи:
Статистика:
Термин3
Утверждение1
Важно4
Задача36
СтатьяКонспектЗадачи

Равенство

Равенство

Два выражения, между которыми стоит знак «равно» (=).
5=55 = 5
1+2=3 1 + 2 = 3
0=4 0 = 4
8x=1a 8x = \frac{1}{a}

Уравнение

Уравнение

Равенство, в котором есть одна или несколько неизвестных или переменных.
x+3=5x + 3 = 5
t2+8t=100 t^2 + 8t = 100
z=1x z = \frac{1}{x}

Решение уравнения

Решениями или корнями уравнения называют такие числа, которые при подстановке вместо неизвестных превращают его в истинное равенство.
«Решить уравнение» — значит найти все его корни и доказать, что других корней нет. Причем корней может не быть вовсе или быть бесконечно много.

Решение уравнений угадыванием

👀
Пример
Решите все уравнения:
x+3=5x + 3 = 5

Правило одинакового действия

Правило одинакового действия

Если над обеими частями истинного равенства совершить одно и то же действие (прибавить, вычесть, умножить, разделить или любое другое), то полученное новое равенство тоже будет истинным.
1+1=2 (истинное)+6 ∣ 1+1=2 ∣ +66+1+1=2+68=8 (истинное)\begin{array}{} 1 + 1 = 2 \ \text{\small (истинное)} \\[5px] {\footnotesize \brand{+6}} \ | \ 1 + 1 = 2 \ | \ {\footnotesize \brand{+6}} \\ 6 + 1 + 1 = 2 + 6 \\[5px] 8 = 8 \ \text{\small (истинное)} \end{array}
Есть и совсем простая формулировка.
Запомните её на всю жизнь:
ЧТО СДЕЛАЛИ С ОДНОЙ СТОРОНЫ, ТО ЖЕ ДЕЛАЕМ И С ДРУГОЙ!
Доказательство. С утками и коммунистами!

Примеры сохранения истинности

👀
Пример
Опробуйте правило одинакового действия для базовых арифметических действий:
Какое получится новое равенство, если по правилу одинакового действия прибавить к равенству ниже число 2?
2⋅3−2=42 \cdot 3 - 2 = 4

Решение уравнений

Решение почти всех уравнений сводится к последовательному упрощению исходного уравнения, раз за разом применяя правило одинакового действия. Упрощения производятся до тех пор, пока не станет понятно, каким числом является неизвестная. Обычно упрощениями удается свести уравнение к тривильному виду x=…x = \ldots
  • Сложение нейтрализуют вычитанием и наоборот, чтобы получился 0:
    − 5 ∣ x+5=12 ∣ − 5−5+x+5=12−5x=7\brand{- \ 5} \ | \ x + \red{5} = 12 \ | \ \brand{- \ 5} \\ -\cancel{5} + x + \cancel{5} = 12 - 5 \\ x = 7
    + 3 ∣ x−3=4 ∣ + 3+3+x−3=4+3x=7 \brand{+ \ 3} \ | \ x - \red{3} = 4 \ | \ \brand{+ \ 3} \\ +\cancel{3} + x - \cancel{3} = 4 + 3 \\ x = 7
  • Умножение нейтрализуют делением и наоборот, чтобы получилась 1:
    ÷ 4 ∣ 4x=20 ∣ ÷ 44x4=204x=5\brand{\div \ 4} \ | \ \red{4}x = 20 \ | \ \brand{\div \ 4} \\ \frac{\cancel{4}x}{\cancel{4}} = \frac{20}{4} \\ x = 5
    ⋅ 6 ∣ x6=3 ∣ ⋅ 66⋅x6=3⋅6x=18 \brand{\cdot \ 6} \ | \ \frac{x}{\red{6}} = 3 \ | \ \brand{\cdot \ 6} \\ \cancel{6} \cdot \frac{x}{\cancel{6}} = 3 \cdot 6 \\ x = 18
Умножайте и делите обе части аккуратно! Помните, что эти действия применяются ко всей левой и ко всей правой частям, а не только там, где вам удобно! Помните о том, что:

Действие всегда «глобально»

При преобразовании равенств всегда применяйте действие ко всей стороне равенства целиком как единому целому, и никогда к отдельным её частям!
⋅ 3 ∣ 2x+5=8+x ∣⋅33⋅(2x+5)=(8+x)⋅33⋅2x+3⋅5=8⋅3+x⋅3\red{\cdot \ 3} \ | \ 2x + 5 = 8 + x \ | \red{\cdot 3} \\ 3 \cdot \red{(} 2x + 5 \red{)} = \red{(}8 + x \red{)} \cdot 3 \\ \red{3} \cdot 2x + \red{3} \cdot 5 = 8 \cdot \red{3} + x \cdot \red{3} \\

Цепочки действий

😀
Ликбез
Решите уравнения с помощью правила одинакового действия:
4x−4=5+x4x - 4 = 5 + x

Уравнение одно — Решения разные

😀
Ликбез
Решите оба уравнения из задачи выше другими способами:
В этот раз попробуйте сначала вычесть из обеих частей уравнения 4x.
4x−4=5+x4x - 4 = 5 + x

Зачем решать уравнения?

Равенства и уравнения буквально повсюду! Бесчисленное количество жизненных ситуаций можно свести к уравнениям, то есть буквально перевести на язык математики. Поэтому преобразование равенств и решение уравнений — базовый и ключевой навык не только в математике, но и в любой точной науке. Уверенное владение этим навыком — всё равно что надёжный и универсальный верстак для работы с мыслями и идеями.

Применение уравнений в жизни

Прикладная
😀
Ликбез
Какую сферу деятельности человека ни возьми, везде можно встретить уравнения!
Алина хочет купить новый телефон, который сейчас стоит 10 000 рублей. Каждый день она откладывает по 100 рублей. Однако, каждый день цена телефона растет на 20 рублей! Сколько дней ей нужно откладывать деньги, чтобы накопить нужную сумму?

Типовые ошибки

  • «Уравнение», это когда «равно 0»
    Распространенное заблуждение, которое возникает из-за того, что многие уравнения на отработку в учебниках и задачниках записаны в виде что-то там=0\text{что-то там} = 0. Как вы уже и сами убедились из примеров выше, слева и справа от знака равенства может быть все что угодно: числа, перменные, дроби и даже сложные выражения.
  • «Решить уравнение» — значит найти x
    Полная чушь. К сожалению, такой безграмотный ответ вы в 90% случаев услышите от школьников и даже студентов. Начать стоит с того, что переменная не всегда обозначается буквойx. Переменную можно обозначить любыми буквами и значками, например y, z, t, α\alpha, β\beta и т.д.
    Ну а вообще, как только услышите подобный ответ сразу ткните пальцем в x и уверенно заявите — «Найти x? Ну вот он! Все? Уравнение решено?»
    После того как закончите смеяться не забудьте рассказать, что на самом деле значит «решить уравнение».
  • Решение уравнений «в строчку»
    Обычно математические выражения можно преобразовывать (выполнять сокращения, раскрывать скобки, приводить подобные) в строчку через цепочку равенств. Например, упрощая выражение 63+2⋅4\frac{6}{3} + 2 \cdot 4, мы можем записать:
    63+2(4+1)=2+2⋅4+2⋅1=2+8+2=12\frac{6}{3} + 2(4 + 1) = 2 + 2 \cdot 4 + 2 \cdot 1 = 2 + 8 + 2 = 12
    Очень частно новички пытаются применить точно такой же подход при решении уравнений. Выглядит каждый раз по-разному, но всегда до жути креативно, например:
    3+x=5=5−3=2=x3 + x = 5 = 5 - 3 = 2 = x
    Это естественная ошибка, но ее надо присекать на месте. Делать так в корне неправильно! Каждое новое действие над обеими частями, каждое «внутреннее» преобразование, все должно быть на отдельной строчке друг под другом:
    3+x=5−3 ∣ 3+x=5 ∣−3−3+3+x=5−3x=23 + x = 5 \\ \brand{-3} \ | \ 3 + x = 5 \ | \brand{-3} \\ - \cancel{3} + \cancel{3} + x = 5 - 3 \\ x = 2
  • Путаница с эквивалентными преобразованиями
    Регулярно после изучения правила одинакового действия над уравнениями и равенствами учащиеся начинают путать его с обычными преобразованиями выражений. Рассмотрим вот такой пример:
    84x=7\frac{8}{4}x = 7
    В левой части дробь можно спокойно сократить на 4 и получить 2x = 7. Но учащиеся боятся это сделать, ведь если «если сокращу дробь слева, то по правилу одинакового действия сокращать придется и справа». А так как справа ничего ни с чем не сокращается, значит так делать нельзя.
    Тут надо просто понимать, что сокращение дроби в сущности это просто замена одной записи, 84\frac{8}{4}, на другую, 2. Обе эти записи обозначают одно и то же число, и поэтому их можно свободно заменять друг на друга. Такие действия еще называют эквивалентными преобразованиями — форма меняется, значение нет. В аналогии с механическими весами это можно сравнить с тем, что вы убрали грузик весом 3 килограмма и вместо него поставили ведро с водой весом 3 килограмма — выглядит по-разному, суть одна и та же.
    Никогда не путайте эквивалентные преобразования (сокращение дробей, раскрытие скобок, приведение подобных слагаемых и т.д.), которые никак не меняют суть с правилом одинакового действия, которое полностью меняет уравнение! При эквивалентных преобразованиях не требуется никаких действий для «компенсации» — компенсировать просто нечего!