Основы математикиУравненияКвадратные уравнения

Разложение квадратного трехчлена на множители

Запись квадратных трехчленов и квадратных уравнений в виде произведения множителей, а не суммы слагаемых. Помогает быстро решать уравнения, упрощать сложные выражения и сразу видеть корни.
Ключевые элементы:
Связи:
Выделение полного квадрата необходимо для разложения на множители квадратного трехчлена в общем виде, поэтому уметь использовать этот метод надо обязательно!
Добавление и компенсация
Разложение на множители квадратного трехчлена использует понятие дискриминанта, а также общую формулу корней квадратного уравнения. Всё это обязательно надо знать!
Формула корней квадратного уравнения
Дискриминант
Биквадратное уравнение
Статистика:
Утверждение1
Важно1
Задача9
Статья
Конспект
Практика
Варианты разложения квадратного трёхчлена на множители

Зачем раскладывать?

  • 1
    Можно упрощать выражения
    Запись квадратного трёхчлена через произведение множителей частенько позволяет упростить сложные выражения:
    5⋅(x2−2x−24)(x+4)⋅(x−6)⋅10=5⋅(x+4)⋅(x−6)10⋅(x+4)⋅(x−6)=510=12=0.5\frac{5 \cdot (x^2 - 2x - 24)}{(x+4) \cdot (x-6) \cdot 10} = \frac{5 \cdot \cancel{(x+4)} \cdot \cancel{(x-6)}}{10 \cdot \cancel{(x+4)} \cdot \cancel{(x-6)}} = \frac{5}{10} = \frac{1}{2} = 0.5
  • 2
    Из множителей легко получить сумму
    Из разложенного на множители квадратного трёхчлена запись через сумму получается банальным раскрытием скобок:
    2(x−1)(4+x)=2(4x+x2−4−x)=2(x2+3x−4)=2x2+6x−82(x-1)(4+x) = 2(4x + x^2 - 4 -x) = 2(x^2 + 3x - 4) = \boxed{2x^2 + 6x - 8}
    А вот разложить на множители запись через сумму уже гораздо сложнее!
    2x2+6x−8=… ? …=2(x−1)(4+x)2x^2 + 6x - 8 = \ldots \text{ ? } \ldots = \boxed{2(x-1)(4+x)}
  • 3
    Сразу видны корни уравнения
    Запись квадратного трёхчлена через произведение множителей позволяет сразу видеть корни его «уравнения». Ведь в таком виде он попадает под задачу Нулевые множители — достаточно по отдельности приравнять каждый из двух множителей к нулю и получится верное равенство 0 = 0:
    В записи через множители корнями являются числа рядом с x, взятые с обратным знаком!
  • 4
    Cпособ решать квадратные уравнения
    Разложение на множители — ещё один способ решать квадратные уравнения, помимо уже известных вам методов: выделения полного квадрата и общей формулы корней. Мы одновременно записываем квадратный трёхчлен через умножение и сразу видим корни, если бы это выражение было квадратным уравнением. Большим плюсом является и то, что так можно находить корни простых квадратных уравнений быстро, иногда даже в уме!

    • Разложение «вручную»

    Простые квадратные трёхчлены иногда можно разложить на множители вручную. Для этого коэффициент B надо представить в виде суммы двух чисел, а коэффициент C как произведение тех же самых двух чисел. Геометрически это означает, что мы из нескольких фигур поменьше собираем один большой прямоугольник.

    Примеры ручного разложения на множители

    👀
    Пример
    Разложите квадратный трёхчлен на множители и найдите корни соответствующего ему квадратного уравнения:
    x2+5x+6x^2 + 5x + 6

    Разложение в общем виде

    Прямой вывод общей формулы разложения путем выделения полного квадрата и формулы разности квадратов. Если вам нужны более подробные объяснения, в статье есть детальный разбор каждого шага.
    ДействиеВыражение
    1Записываем в общем виде.Ax2+Bx+C\displaystyle Ax^2 + Bx + C
    2Выносим коэффициента A за скобку.A(x2+BAx+CA)\displaystyle A\left(x^2 + \frac{B}{A}x + \frac{C}{A}\right)
    3Добавляем и компенсируем двойку для выделения полного квадрата.A(x2+2⋅xBA⋅12+CA)\displaystyle A\left(x^2 + \yellow{2} \cdot x \frac{B}{A} \cdot \yellow{\frac{1}{2}} + \frac{C}{A}\right)
    4Добавляем и компенсируем b2b^2 для выделения полного квадрата.A(x2+2⋅xBA⋅12+(B2A)2⏟a2+2ab+b2=(a+b)2−(B2A)2+CA)\displaystyle A\left(\underbrace{x^2 + 2 \cdot x \frac{B}{A} \cdot \frac{1}{2} + \yellow{\left(\frac{B}{2A}\right)^2}}_{\small a^2 + 2ab + b^2 = (a+b)^2} - \yellow{\left(\frac{B}{2A}\right)^2} + \frac{C}{A}\right)
    5Выделяем полный квадрат.A([x+B2A]2−B24A2+CA)\displaystyle A\left(\left[x + \frac{B}{2A}\right]^2 - \frac{B^2}{4A^2} + \frac{C}{A}\right)
    6Приводим к общему знаменателю правую часть.A([x+B2A]2−B2−4AC4A2)\displaystyle A\left(\left[x + \frac{B}{2A}\right]^2 - \frac{B^2 - 4AC}{4A^2}\right)
    7Вводим понятие дискриминанта.A([x+B2A]2−D4A2)\displaystyle A\left(\left[x + \frac{B}{2A}\right]^2 - \frac{\brand{D}}{4A^2}\right)
    8Раскладываем на множители по формуле разности квадратов.A(x+B2A−D2A)(x+B2A+D2A)\displaystyle A\left(x + \frac{B}{2A} - \frac{\sqrt{D}}{2A}\right)\left(x + \frac{B}{2A} + \frac{\sqrt{D}}{2A}\right)
    9Приводим к общему знаменателю.A(x−−B−D2A⏟Корень 1)(x−−B+D2A⏟Корень 2)\displaystyle A\left(x - \underbrace{\frac{-B - \sqrt{D}}{2A}}_{\text{Корень 1}}\right)\left(x - \underbrace{\frac{-B + \sqrt{D}}{2A}}_{\text{Корень 2}}\right)
    10Заменяем дроби на обозначения согласно общей формуле корней.A(x−x1)(x−x2)\displaystyle A(x - x_1)(x - x_2)

    Разложение квадратного трёхчлена на множители

    Если у квадратного трёхчлена есть корни (обозначим их за x1x_1 и x2x_2), то этот трёхчлен всегда можно разложить на множители:
    Это две разные записи (через сложение и через умножение), которые обозначают одно и то же значение, точно так же, как 10 + 6 и 2⋅82\cdot8 обозначают одно и то же число. Запись квадратного трёхчлена можно менять на запись через множители и наоборот абсолютно в любой ситуации!

    Примеры разложения через корни

    👀
    Пример
    Разложите квадратный трёхчлен на множители через решение соответствующего квадратного уравнения:
    4x2+15x−44x^2 + 15x - 4
    Разложение квадратного трехчлена на множители