Основы математикиУравненияКвадратные уравнения

Что такое квадратное уравнение?

Разберемся, что вообще такое квадратное уравнение и квадратный трехчлен. Как эти термины появились, чем они похожи, а чем отличаются. Научимся определять, является ли уравнение квадратным.
Ключевые элементы:
Связи:
Статистика:
Термин2
Важно1
Задача5
СтатьяКонспектЗадачи
Правило одинакового действия, конечно, очень мощный инструмент, который позволяет легко справляться с простыми уравнениями доведением их до тривиального вида x = A или A = x. Однако часто встречаются и такие уравнения, которые до такого вида упростить нельзя:

Уравнения с нюансом…

Прикладная
👀
Пример
Древнегреческий царь (их называли басилевсами) приказал соорудить роскошный сад площадью 36 квадратных метров. При этом одна из его сторон обязательно должна быть на 5 метров длиннее другой. Какая длина и ширина должна быть у сада?
Древние мудрецы в замешательстве…
Прежде чем пытаться решать такие уравнения, математики сначала решили научиться их определять, выявить общие черты. Для этого сначала ввели понятие квадратного трёхчлена:

Квадратный трёхчлен

Любой многочлен, записанный в следующем «стандартном» виде:
Ax2+Bx+C,A≠0Ax^2 + Bx + C, \quad A \neq 0
Например:
3x2+x+10AA=3, B=1, C=10A\underset{{\large\phantom{A}} A = 3, \ B = 1, \ C=10 {\large\phantom{A}}}{3x^2 + x + 10}
x2−5AA=1, B=0, C=−5A \underset{{\large\phantom{A}} A = 1, \ B = 0, \ C=-5 {\large\phantom{A}}}{x^2 - 5}
−x2AA=−1, B=0, C=0A \underset{{\large\phantom{A}} A = -1, \ B = 0, \ C=0 {\large\phantom{A}}}{-x^2}
Если удаётся уравнение без изменения корней привести к такому виду, чтобы с одной стороны был квадратный трёхчлен, а с другой ноль, то такое уравнение называется «квадратным».

Квадратное уравнение

Общим видом квадратного уравнения называется любое уравнение, в котором с одной стороны стоит квадратный трёхчлен, а с другой ноль:
Ax2+Bx+C⏞Квадратный трёхчлен=0⏟Квадратное уравнение,A≠0\underbrace{\overbrace{Ax^2 + Bx + C}^{\text{Квадратный трёхчлен}} = 0}_{\text{Квадратное уравнение}}, \quad A \neq 0
Любое уравнение, которое имеет этот общий вид или может быть к нему сведено преобразованиями без изменения корней, называется квадратным уравнением:
−3x2+6x+9=0-3x^2 + 6x + 9 = 0
80+j=5j2−10⏟5j2−j−90=0 \underbrace{80 + j = 5j^2 - 10}_{5j^2 - j - 90 = 0}
y2=0⏟y2+0y+0=0 \underbrace{y^2 = 0}_{y^2 + 0y + 0 = 0}
(t+2)(5−t)=0⏟−t2+3t+10=0 \underbrace{(t+2)(5-t) = 0}_{-t^2 + 3t + 10 = 0}

Важна степень, а не положение

Подавляющее количество новичков путается при определении коэффициентов A, B и C в квадратном уравнении. Коэффициенты привязаны к x и его степени. А вот положения, в которых они стоят, не имеют значения!
  1. 1
    Коэффициент A всегда стоит рядом с x2x^2.
  2. 2
    Коэффициент B всегда стоит рядом с x.
  3. 3
    Коэффициент C всегда стоит в одиночестве. Никаких переменных рядом с ним нет!
Рассмотрим пример −3+4x2−2x=0-3 + 4x^2 - 2x = 0. Помним, что A всегда перед x2x^2, поэтому он равен 4. B всегда перед x, поэтому он равен –2. В одиночестве стоит –3, это коэффициент C.

Квадратное или нет?

😀
Ликбез
Проверьте, является ли уравнение квадратным или нет. Если уравнение квадратное, при помощи правила одинакового действия приведите его к общему виду и найдите, чему равны его коэффициенты A, B и C.
2x2+3x−5=02x^2 + 3x - 5 = 0