Решение квадратных уравнений в уме

Профиль
Дополнение
Подробный разбор всех способов решения квадратных уравнений в уме. Бесконечно генерируемые задачи на отработку как каждого способа по отдельности, так и всех способов сразу.

Связи:

Статистика:

  • Утверждение4
  • Важно1
  • Задача5
  • Обновлено
Статья
Конспект
Практика
Любые квадратные уравнения можно решить при помощи общей формулы корней. Но существуют отдельные адепты, которые любят делать всё быстро в уме и ненавидят что-то записывать на бумаге. Если вы тоже из таких, то вы попали прямо по адресу!
У решения квадратных уравнений в уме есть и реальный плюс — почти всегда в школах, а частенько и в университетах квадратные уравнения специально подбираются так, чтобы у них были «красивые» корни в виде целых чисел. Обладая навыком решать их в уме вы будете тратить в разы меньше времени на их решение. Ну и ещё у ваших одноклассников будут глаза округляться от черной математической магии, которую вы применяете. Нам всем хочется чувствовать себя Гауссами или Эйлерами, правда? 😏

Научитесь решать письменно!

Прежде чем пытаться решать квадратные уравнения в уме, выработайте навык уверенно решать их письменно. Бесполезно и бессмысленно решать в уме то, что вы плохо умеете выполнять даже на бумаге!

Неполные уравнения

Все неполные квадратные уравнения можно (и нужно) решать в уме. В отличие от полноценных квадратных уравнений, в неполных даже угадывать ничего не надо. Они всегда решаются и всегда элементарно!
Схема способов решения неполных квадратных уравнений в уме
Для продвинутого уровня вопросов «откуда взялись эти формулы?» появиться не должно. Вы ведь продвинутого уровня и зашли сюда не по приколу, так? 👀
Шутка 😏 Но если всё же возникли сложности, с подробным выводом всего этого можно ознакомиться в теме про неполные квадратные уравнения. Далее будем рассматривать только полноценные квадратные уравнения, с которыми всё сильно хитрее…

Нулевая сумма

Самый быстрый и лёгкий метод. Его полезно знать вообще всем увлекающимся математикой и без разницы, есть ли намерение научиться решать квадратные уравнения в уме или нет.

Нулевая сумма

Если сумма коэффициентов квадратного уравнения равна 0, то один из корней равен 1, а второй C/A. Если в сумме взять отрицательное –B, то корни тоже будут отрицательными:
A+B+C=0x1=1x2=CAA + B + C = 0 \\ \boxed{x_1 = 1 \quad x_2 = \frac{C}{A}}
A−B+C=0x1=−1x2=−CA A - B + C = 0 \\ \boxed{x_1 = -1 \quad x_2 = -\frac{C}{A}}
Доказательство
С корнями 1 и –1 понятно, а как не забыть, чему равен второй корень? Можно и забыть, ничего страшного. Для нахождения второго корня просто воспользуйтесь второй формулой Виета, которая про умножение:
x1⋅x2=CAx_1 \cdot x_2 = \frac{C}{A}
±1⋅x1=±CA \pm 1 \cdot x_1 = \pm \frac{C}{A}
Теперь посмотрите на образцы решения и прочно отработайте этот метод решения квадратных уравнений в уме на реальных примерах:

Нулевая сумма — Практика

Прием
😀
Ликбез
В уме определите, можно ли решить квадратное уравнение по методу нулевой суммы. Если можно, решите его также в уме. Если нельзя, объясните почему.
2x2+3x−5=02x^2 + 3x - 5 = 0
Из-за своей простоты и эффективности выполнять проверку на сумму коэффициентов стоит абсолютно всегда, прежде чем решать вручную или переходить к более хитрым методам решения в уме. Времени занимает пару секунд, а решение получается моментально.

Выделение полного квадрата

Если и существуют формулы, которые никогда не бросят вас в беде, так это формулы сокращенного умножения. А конкретно формулы квадрата суммы и квадрата разности:
a2+2ab+b2=(a+b)2a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2
a2−2ab+b2=(a−b)2 a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2
Если повезет, то квадратное уравнение целиком получится запаковать в скобку в квадрате и сразу же получить корень!

Полный квадрат

Если оба «крайних» коэффициента A и C квадратного уравнения являются полными квадратами (1,2,4,9,…1, 2, 4, 9, \ldots), то возможно и всё уравнение целиком можно запаковать в квадрат суммы или квадрат разности. Это зависит от того, можно ли разложить «центральный» коэффициент B на произведение 2 и корней из двух других коэффициентов:
Если такая запаковка возможна, то у уравнения есть ровно один корень, причём знак этого корня противоположен знаку перед коэффициентом B:
x1=x2=∓TK\boxed{x_1 = x_2 = \mp\frac{T}{K}}
Доказательство
Как запомнить, какое число в формуле корня находится в числителе, а какое в знаменателе? Элементарно! Во всех наших действиях и формулах с квадратными трехчленами и уравнениями (формула корней, формулы Виета, да даже описанный выше метод нулевой суммы) всё время так получается, что коэффициент A всегда оказывается «внизу». Опущенный коэффициент какой-то.
Вот и в текущей формуле число K мы получили из A! И эта K «по наследству» переняла черту находиться снизу. Поэтому именно K находится в знаменателе! А вот так этот метод работает на реальных уравнениях:

Полный квадрат — Практика

Прием
🤔
Нормальный
Если возможно по методу полного квадрата, решите его также в уме. Если невозможно, объясните почему.
36x2+6x+14=036x^2 + 6x + \frac{1}{4} = 0

Разложение на множители

Переходим к самой настоящей классике — разложению на множители. Именно этот способ нужно попробовать, если перед вами оказалось приведённое квадратное уравнение, то есть с коэффициентом A = 1:
x2+8x+15=0x^2 + 8x + 15 = 0
x2−5x+6=0 x^2 - 5x + 6 = 0
x2−6x−16=0 x^2 - 6x - 16 = 0
Для решения этих и многих похожих уравнений достаточно в уме разложить их на множители по методике разложения «вручную».

Разложение на множители

Приведённое квадратное уравнение (A = 1) можно попытаться в уме разложить на множители. Для этого коэффициенты B и C нужно представить в виде суммы и произведения двух чисел. Если это возможно, то корнями будут эти два числа, но с противоположными знаками.
(x+t)(x+k)=0x1=−tx2=−k(x+t)(x+k) = 0 \\ \boxed{x_1 = -t \quad x_2 = -k}
Доказательство
Многие предпочитают подбирать сразу корни, подходящие под формулы Виета. Там тоже надо искать сумму и произведение. Но есть и проблема, вместо суммы в виде B приходится мысленно искать сумму в виде –B, что неудобно. В нашем же методе не надо ничего дополнительно в голове менять. Просто ищем числа, которые дадут B и C, а потом у обоих найденных чисел меняем знаки. Вот это удобно!

Разложение на множители — Практика

Прием
🤔
Нормальный
Если возможно, решите квадратное уравнение в уме по методу разложения на множители. Если невозможно, объясните почему.
x2+8x+15=0x^2 + 8x + 15 = 0

Перенос A к C

В большинстве ситуаций провала по уже перечисленным простым методам решения в уме достаточно, чтобы сдаться и с позором начать решать уравнение через формулу корней. Но есть ещё один бонусный секретный и самый последний способ, при помощи которого можно избавиться от коэффициента A и попытаться провести разложение на множители в уме.

Перенос A к C

В любом квадратном уравнении Ax2+Bx+C=0Ax^2 + Bx + C = 0 можно «перенести A к C» и получить приведённое квадратное уравнение x2+Bx+AC=0x^2 + Bx + AC = 0. Корни исходного уравнения x1x_1 и x2x_2 равны корням приведённого x1′x'_1 и x2′x'_2, поделённым на A.
x1=x1′Ax2=x2′A\boxed{x_1 = \frac{x'_1}{A} \quad x_2 = \frac{x'_2}{A}}
Доказательство через формулы Виета
Доказательство через формулу корней
Да, вы абсолютно правы, вам придётся сначала получить из одного квадратного уравнения другое — приведённое, решить уже его в уме, а потом в уме же поделить найденные корни на A. Способ для настоящих гениев, но иногда выручает. Вот так он применяется на практике:

Перенос A к C — Практика

Прием
🤯
Продвинутый
Если это возможно, решите квадратное уравнение в уме по методу переноса A к C. Если невозможно, объясните почему.
1) 5x2+16x−16=01) \ 5x^2 + 16x - 16 = 0
2) −4y2+33y−8=0 2) \ -4y^2 + 33y - 8 = 0
3) 3z2−17z−6=0 3) \ 3z^2 - 17z - 6 = 0
Кстати, запоминать, на что делить корни приведённого уравнения, тоже легко. Опять опущенный коэффициент A находится снизу. На него и делим!

Всё и сразу

Соберём все рассмотренные методы решения в уме квадратных уравнений общего вида в одну единую схему. Расположим методы в порядке возрастания сложности:
Схема способов решения квадратных уравнений в уме
В порядке возрастания сложности
Отрабатывать методы по отдельности хорошо, когда вы их только изучаете и хотите запомнить. Но для получения реального навыка решения квадратных уравнений в уме нужно отрабатывать их все вместе, причём на таких уравнениях, которые не дают понять, какой метод к ним применить. Именно это мы сейчас и сделаем.

Задачи на решение квадратных уравнений в уме

🤔
Нормальный
2x2−x−5=02x^2 - x - 5 = 0
Решение квадратных уравнений в уме