Основы математикиУравненияКвадратные уравнения

Теорема Виета

Дополнение
Две простые и очень полезные формулы, которые связывают корни и коэффициенты квадратного трёхчлена. Они позволяют быстро проверять корни, составлять уравнения и изучать особые виды квадратных уравнений.
Ключевые элементы:
Связи:
Запись квадратного трёхчлена через множители напрямую приводит к формулам Виета, поэтому раскладывать на множители надо уметь обязательно!
Разложение квадратного трёхчлена на множители
Разложение «вручную»
Статистика:
Утверждение1
Важно3
Задача13
Статья
Конспект
Практика

Из корней в коэффициенты

Мы уже проводили разложение на множители стандартного вида квадратного трёхчлена. В итоге мы пришли к вот такому замечательному равенству:
Ax2+Bx+C=A(x−x1)(x−x2)Ax^2 + Bx + C = A(x - x_1)(x - x_2)
Давайте раскроем скобки в правой части равенства:
Ax2+Bx+C=A(x2−xx1−xx2+x1x2)Ax2+Bx+C=A(x2−(x1+x2)x+x1x2)Ax2+Bx+C=Ax2−A(x1+x2)x+Ax1x2Ax^2 + Bx + C = A(x^2 - xx_1 - xx_2 + x_1x_2) \\ Ax^2 + Bx + C = A(x^2 - (x_1 + x_2)x + x_1x_2) \\ Ax^2 + Bx + C = Ax^2 - A(x_1 + x_2)x + Ax_1x_2
Так как это равные выражения, то и коэффициенты при одинаковых степенях переменной x должны быть равны, обозначим их цветами для наглядности:
A=AB=−A(x1+x2)C=Ax1x2\blue{A} = \blue{A} \\ \yellow{B} = \yellow{-A(x_1 + x_2)} \\ \green{C} = \green{Ax_1x_2}
Равенство A = A очевидное и никакого интереса не представляет. А вот оставшиеся два равенства очень интересные. Преобразуем их так, чтобы с одной стороны были только корни, а с другой только коэффициенты:
−A(x1+x2)=Bx1+x2=−BA-A(x_1 + x_2) = B \\ \boxed{x_1 + x_2 = -\frac{B}{A}}
Ax1x2=Cx1x2=CA Ax_1x_2 = C \\ \boxed{x_1x_2 = \frac{C}{A}}

Связь корней и коэффициентов

Если квадратное уравнение имеет корни x1x_1 и x2x_2, то эти корни связаны с коэффициентами квадратного трёхчлена A, B и C через две простые формулы:
x1+x2=−BAx_1 + x_2 = -\frac{B}{A}
x1x2=CA x_1x_2 = \frac{C}{A}

Может быть не только корни?

Мы установили красивую и простую связь между корнями квадратного уравнения и коэффициентами квадратного трёхчлена. А только ли корни могут удовлетворять этим формулам? Вдруг существует какая-то другая пара чисел, скажем n и m, которые не являются корнями, но при сложении и умножении которых получаются те же результаты?
n+m=−BAn + m = \blue{-\frac{B}{A}}
nm=CA nm = \green{\frac{C}{A}}
Квадратный трёхчлен с учётом используемых нами обозначений имеет следующий вид:
Ax2+Bx+CAx^2 + Bx + C
Давайте преобразуем его запись так, чтобы можно было подставить наши сумму и произведение:
Ax2+Bx+C=A(x2+BAx+CA)=A(x2−[−BA]⏟n+mx+CA⏟nm)Ax^2 + Bx + C = \\ A\left(x^2 + \frac{B}{A}x + \frac{C}{A}\right) = \\ A\left(x^2 - \underbrace{\left[\blue{-\frac{B}{A}}\right]}_{\small n+m}x + \underbrace{\green{\frac{C}{A}}}_{\small nm}\right)
Подставляем вместо выражений с коэффициентами выражения с числами n и m и проводим разложение на множители вручную:
A(x2−(n+m)x+nm)==A(x2−nx−mx+nm)==A(x(x−n)−m(x−n))==A(x−n)(x−m)A\left(x^2 - (n+m)x + nm\right) = \\ = A\left(x^2 - nx - mx + nm\right) = \\ = A\left(x(x-n) - m(x-n)\right) = \\ = A(x-n)(x-m)
Замечаем, что получившееся выражение точь в точь совпадает с разложением на множители в общем виде. Это означает, что наши «может быть не корни?» числа n и m корнями всё же являются:
A(x−n)(x−m)=A(x−x1)(x−x2)n=x1m=x2A(x-\blue{n})(x-\green{m}) = A(x-\blue{x_1})(x-\green{x_2}) \\ \boxed{n = x_1} \qquad \boxed{m = x_2}

Это могут быть только корни!

Не существует никакой другой пары чисел, кроме самой пары корней, которая бы удовлетворяла формулам связи корней с коэффициентами квадратного трёхчлена.
В других учебных материалах часто можно встретить иную формулировку, которая по сути является тем же самым:

Корни можно угадать

Если вы каким-то образом (например угадыванием) нашли два таких числа, которые удовлетворяют формулам связи корней с коэффициентами, то эти два числа обязательно являются корнями квадратного уравнения.
Зачем вообще нужно это утверждение? Может показаться, что всё очевидно. Но это не так. Без этого утверждения у нас нет гарантии, что числа, которые подходят для формул с коэффициентами, действительно являются корнями уравнения. Например, вы можете угадать числа 2 и 3, они подходят под формулы, но корнями уравнения не являются! И поэтому мы отдельно доказали, что если числа подходят под формулы, то это ещё и точно корни!

Теорема Виета

Мы доказали два весьма занятных утверждения: что коэффициенты и корни любого квадратного трёхчлена связаны простыми формулами, а также что не существует другой пары чисел, которая бы удовлетворяла этим формулам, кроме самой пары корней. Соединив оба этих утверждения вместе мы получаем очень полезную теорему, названную в честь французского математика Франсуа Виета, который первым заметил эту связь.

Теорема Виета

Корни x1x_1 и x2x_2 квадратного трёхчлена Ax2+Bx+CAx^2 + Bx + C связаны с его коэффициентами двумя простыми формулами, которые называют формулами Виета:
{x1+x2=−BAx1x2=CA\begin{cases} x_1 + x_2 = -\dfrac{B}{A} \\ x_1x_2 = \dfrac{C}{A} \end{cases}
Не существует никаких других двух чисел, кроме самих корней, которые удовлетворяли бы этим формулам.
Не пугайтесь большой фигурной скобки слева от формул Виета. Она всего лишь означает, что выполняться обязательно должны оба равенства, а не только какое-то одно. Подробнее с этой скобкой вы познакомитесь в теме про системы уравнений.
Необыкновенный Виет
Сэр Франсуа Виет буквально изменил язык науки. В XVI веке он первым начал систематически обозначать неизвестные и известные величины буквами (причём гласные для неизвестных, согласные для известных), превратив громоздкие словесные уравнения в компактные записи, которые мы используем до сих пор.
Хорош он был и в криптографии — сумел взломать сложный шифр испанцев во время войны, чем так сильно помог Франции, что противники обвиняли его в колдовстве.
Теперь нужно внести ясность в ряд моментов, которые часто вызывают затруднения и конфузы. Будьте внимательны!
  • Так «формулы Виета» или «теорема Виета»?
    Можно и так, и так. Вас поймут в любом случае. Но вообще «формулы Виета» это, логично, конкретно два равенства, а «теорема Виета» в целом и про связь корней с коэффициентами, и про отсутствие других чисел.
  • Прямая и обратная теоремы
    Во многих учебных материалах теорему Виета разделяют на «прямую» или просто «теорему Виета», которая про связь корней с коэффициентами, и «обратную теорему Виета», которая про то, что только корни удовлетворяют этим формулам. Забейте на это и просто используйте термин «теорема Виета» для обоих утверждений, иначе будете путаться, а оно вам надо?
  • Как запомнить формулы?
    Учить наизусть их не обязательно. Когда нужно просто раскройте скобки в A(x−x1)(x−x2)A(x-x_1)(x-x_2) и сразу получите формулы. Если очень надо, то просто запомните, что произведение двух отрицательных констант −x1-x_1 и −x2-x_2 даст свободный член C. Коэффициент A вечно мешается под ногами, поэтому приходится на него делить. Останется только отрицательное –B для суммы корней.
    • Если вы мазохист или только планируете открыть в себе подобные наклонности, то можете попытаться «выучить» формулы Виета через заучивание наизусть следующего шедевра поэтического искусства:
    Стих для «запоминания» формул Виета
    По праву достойна в стихах быть воспета
    О свойстве корней теорема Виета.
    Что проще, скажи, постоянства такого?
    Умножишь ты корни — и дробь уж готова!
    В числителе C, в знаменателе A,
    А сумма корней тоже дроби равна.
    Хоть с минусом дробь эта — что за беда?!
    В числителе B, в знаменателе A.

    Применение формул Виета

    Может возникнуть закономерный вопрос — а нафига нам вообще эти формулы? На самом деле они весьма полезные, потому что дают прямую и простую связь между коэффициентами квадратного уравнения и его корнями. И связь эту можно использовать самыми разными способами:

    Быстрая проверка корней

    👀
    Пример
    Формулы Виета позволяют быстро проверять, являются ли данные числа корнями квадратного уравнения.
    Обычно проверка корней требует подстановки каждого числа в уравнение и проверки, получается ли в итоге верное равенство.
    Проверьте, является ли пара чисел 8 и 3 корнями следующего квадратного уравнения:
    x2−10x+16=0x^2 - 10x + 16 = 0

    Составление уравнений по корням

    👀
    Пример
    Формулы Виета позволяют составлять квадратные уравнения «задом наперед», то есть из известной пары корней получить квадратное уравнение. Это очень часто используют учителя для составления уравнений «на отработку» для учеников.
    Составьте квадратное уравнение с корнями 2\sqrt2 и −2-\sqrt2.

    Связь коэффициентов через связь корней

    👀
    Пример
    Формулы Виета позволяют «перенести» связь между корнями в связь между коэффициентами в квадратном трёхчлене. Это помогает понять, как должны выглядеть квадратные трёхчлены с необычными свойствами корней.
    Какие ограничения имеют коэффициенты квадратных уравнений, у которых один корень в два раза больше другого? Составьте три таких уравнения с конкретными числами.

    Обобщение формул

    Такие интересные формулы существуют только для квадратных уравнений? Вообще нет. Они универсальные и подходят для уравнений любой степени. Чему равна старшая степень в уравнении, столько формул Виета и получится. Вот примеры для степеней от 1 до 3:
    Ax+B=0{x1=−BAAx + B = 0 \\ \begin{cases} x_1 = -\frac{B}{A} \end{cases}
    Ax2+Bx+C=0{x1+x2=−BAx1x2=CA Ax^2 + Bx + C = 0 \\ \begin{cases} x_1 + x_2 = -\frac{B}{A} \\ x_1x_2 = \frac{C}{A} \end{cases}
    Ax3+Bx2+Cx+D=0{x1+x2+x3=−BAx1x2+x1x3+x2x3=CAx1x2x3=−DA Ax^3 + Bx^2 + Cx + D = 0 \\ \begin{cases} x_1 + x_2 + x_3 = -\frac{B}{A} \\ x_1x_2 + x_1x_3 + x_2x_3 = \frac{C}{A} \\ x_1x_2x_3 = -\frac{D}{A} \end{cases}
    Получается так, потому что на самом деле любое уравнение с многочленом можно разложить в набор множителей (не только квадратные трёхчлены). Доказывать это мы здесь не будем, оно нам и не надо пока, но разложение выглядит так:
    Ax+B=A(x−x1)Ax2+Bx+C=A(x−x1)(x−x2)Ax3+Bx2+Cx+D=A(x−x1)(x−x2)(x−x3)Ax + B = A(x - x_1) \\ Ax^2 + Bx + C = A(x - x_1)(x - x_2) \\ Ax^3 + Bx^2 + Cx + D = A(x - x_1)(x - x_2)(x - x_3)
    Раскрытие скобок с сопоставлением коэффициентов и приводит к формулам Виета для уравнений любой степени.
    Теорема Виета