Задачи

Теорема Виета

Дополнение
Две простые и очень полезные формулы, которые связывают корни и коэффициенты квадратного трёхчлена. Они позволяют быстро проверять корни, составлять уравнения и изучать особые виды квадратных уравнений.

Связи:

Запись квадратного трёхчлена через множители напрямую приводит к формулам Виета, поэтому раскладывать на множители надо уметь обязательно!
Разложение квадратного трёхчлена на множители
Разложение «вручную»

Статистика:

  • Утверждение1
  • Важно3
  • Задача17
  • Обновлено
Статья
Конспект
Задачи

Красивые коэффициенты

Прием
😀
Ликбез
Составьте квадратное уравнение с целыми коэффициентами, если известно, что один из корней равен:
7

Проба букв

😀
Ликбез
При каких значениях p и q корни уравнения x2+px+q=0x^2 + px + q = 0 равны 2p и q2\dfrac{q}{2}?

Другой вывод формул Виета

😀
Ликбез
Выведите формулы Виета через общую формулу корней квадратного уравнения:
x1,2=−B±D2Ax_{1,2} = \frac{-B \pm \sqrt{D}}{2A}

Корневая эквилибристика

🤔
Нормальный
В уравнении x2−4x+a=0x^2-4x+a=0 сумма квадратов корней равна 16. Найдите a.

Перекрученная сумма

🤔
Нормальный
Два разных числа a и b удовлетворяют следующей цепочке равенств:
a2+3a+1=b2+3b+1=0a^2 + 3a + 1 = b^2 + 3b + 1 = 0
Найдите значение следующего выражения:
ab+ba\frac{a}{b} + \frac{b}{a}

Корень от корня

Прием
🤔
Нормальный
Пускай x1x_1 и x2x_2 — корни квадратного уравнения в общем виде Ax2+Bx+C=0Ax^2 + Bx + C = 0. Будем считать, что и корни и коэффициенты не равны нулю. Составьте новое уравнение, корни которого:
  • 1
    Противоположны корням данного
  • 2
    Обратны корням данного
  • 3
    В 5 раз больше корней данного
    • Применяя полученные формулы, запишите 3 новых уравнения из 3x2−x−1=03x^2 - x - 1 = 0.

    Корневой трансформатор

    🤔
    Нормальный
    Пусть x1x_1 и x2x_2 — корни квадратного уравнения 2x2−7x−3=02x^2 - 7x - 3 = 0. Составьте новое квадратное уравнение, корнями которого являются числа:
    x1+1x2x_1 + \dfrac{1}{x_2} и x2+1x1x_2 + \dfrac{1}{x_1}

    Корни-акробаты

    🤔
    Нормальный
    Не вычисляя корней уравнения 3x2+8x−1=03x^2 + 8x - 1 = 0, найдите:
    x12+x22x_1^2 + x_2^2

    Корни и параметры

    🤔
    Нормальный
    Известно, что корни уравнения x2−5x+a=0x^2 - 5x + a = 0 на 1 меньше корней уравнения x2−7x+3a−6=0x^2 - 7x + 3a - 6 = 0. Найдите a и корни каждого из уравнений.

    Проверка формулы корней

    🤯
    Продвинутый
    Обозначим корни квадратного уравнения буквами n и m. Выразите через эти корни следующее выражение, которое состоит из коэффициентов этого же уравнения:
    B2−4ACA2\frac{B^2 - 4AC}{A^2}

    Корневая разность

    🤯
    Продвинутый
    Не вычисляя корней уравнения 2x2−5x+1=02x^2 - 5x + 1 = 0, найдите просто разность и разность квадратов его корней. Почему в обоих случаях получается два возможных ответа?

    Удвоенный корень

    🤯
    Продвинутый
    При каких значениях параметра a один из корней квадратного уравнения в два раза больше другого?
    (a2−5a+3)x2+(3a−1)x+2=0(a^2 - 5a + 3)x^2 + (3a-1)x + 2 = 0

    Названия с корнями кончились

    🤯
    Продвинутый
    Числа n и m являются корнями квадратного уравнения x2+5x+3=0x^2 + 5x + 3 = 0. Не вычисляя значений этих корней, определите, как будет выглядеть квадратное уравнение со следующими корнями:
    (n−1n)2и(m−1m)2\left( n - \frac{1}{n} \right)^2 \quad \text{и} \quad \left( m - \frac{1}{m} \right)^2

    Игра с нулевой суммой

    🤯
    Продвинутый
    Используя только формулы Виета выясните, какие корни будут у квадратного уравнения, если сумма его коэффициентов равна нулю.
    Теорема Виета