Квадратные уравнения в реальной жизни

Все случаи использования, применения и пользы квадратных уравнений в «реальной жизни» можно условно поделить на два типа:

А нафига тогда вообще нужны эти «загадки», если никакой реальной пользы от них нет? Польза есть, но только лично для вас — как хорошая и разнообразная тренировка вашей способности переводить текст и хитрые условия в формулы. Ну и в целом даже такие загадки показывают, что квадратные уравнения это не что-то оторванное от реальности, нет, они возникают и в реальных ситуациях, просто если хитро подобрать условия!

Квадратные уравнения скрываются в нашей повседневной жизни практически повсюду: в картонных коробках, тротуарах, покупках в магазине и так далее… Да, большая часть таких задач это «загадки». Но есть и приятные исключения, жизненные ситуации, которые естественным образом сводятся к квадратным уравнениям.

Вот многие физику не любят, а зря! В ней как раз можно найти наибольшее количество примеров ситуаций и проблем, сводящихся к квадратным уравнениям. Причем достаточно примеров как реальных проблем, так и всевозможных «загадок» с хитро поставленными условиями.

Когда на тела действуют какие-то силы, их скорость меняется: пинок футбольного мяча ногой, бросок снежка рукой, тетива лука, выталкивающая стрелу или даже притяжение Земли, разгоняющее падающий вниз молоток. Это изменение скорости можно померить. «Скорость, с которой меняется скорость», как бы непривычно это не звучало, называется ускорением и обозначается буквой a.

Отличная новость состоит в том, что простые виды движения с ускорением напрямую описываются квадратными уравнениями! Даже никаких хитрых условий не нужно, чтобы они появились! Классический пример — свободное падение под действием силы притяжения Земли. Наша планета любой объект разгоняет дополнительно на g = 10 метров в секунду за каждую секунду, пока тот находится в воздухе! Если тело уронить с высоты $h_0$ и с начальной скоростью $v_0$, то его высота h в любой момент времени t описывается формулой:

Знак перед $v_0$ определяется в зависимости от направления начальной скорости. Если она направлена вниз, то знак будет минус, а если вверх — плюс.

Квадратные уравнения пробрались и в электрические цепи. Элементы цепи можно соединять последовательно и параллельно, что позволяет гибко управлять напряжением, силой тока и сопротивлением. При параллельном соединении общее сопротивление в цепи $R_t$ рассчитывается по хитрой формуле через сопротивления отдельных элементов $R_1$, $R_2$ и так далее:

Очень много задач-загадок можно придумать на движение с постоянной скоростью. Всем, даже хейтерам физики, знакома простая формула $S = V \cdot t$, которая связывает расстояние, скорость и время. Интуитивно понятно, что если вы бежите за шоколадкой в магазин со скоростью V = 2 метра в секунду, то за t = 10 секунд вы преодолеете расстояние в $S = V \cdot t = 2 \cdot 10 = 20$ метров.

Из этой базовой формулы расстояния простыми преобразованиями можно вывести формулы для скорости и времени. Получается знаменитая школьная троица формул:

Классическую формулу на задачи про движение с постоянной скоростью S = Vt можно легко обобщить на вообще любые задачи, в которых есть некая «работа» не в физическом, а в бытовом смысле, которую кто-то или что-то делает с какой-то скоростью за какое-то время.

Расстояние S заменяет некий «объем работы» A, в каких бы единицах он не измерялся: площадь забора, которую нужно закрасить, объем бака, который нужно заполнить, количество деталей на заводе, которые нужно произвести, и так далее. Скорость V заменяет «производительность», «мощность» или просто «скорость работы» P: сколько квадратных метров закрашивается за час, сколько литров жидкости вливается в бак за минуту, сколько деталей на заводе производится за день и так далее.

Формулы получаются точно такие же, просто с другими обозначениями. Например, если работник изготавливает P = 8 деталей в час, то за t = 10 часов он изготовит $8 \cdot 10 = 80 = A$ деталей (это его «объем работы»). Так мы получаем основную формулу A = Pt, из которой элементарными преобразованиями получаются формулы для «скорости работы» и «времени работы», ровно точно такие же, как и для движения с постоянной скоростью:

В химии, в том числе и бытовой, в металлургии, да даже при простом замешивании бетона, регулярно приходится смешивать или сплавлять несколько веществ. В результате получаются смеси (газов), растворы (жидкостей) и сплавы (твердых веществ). Это всё разные названия для одного и того же!

Для всех этих смесей, растворов и сплавов очень важно понимать, какую долю от общей массы/объема смеси/раствора/сплава составляет интересующее нас вещество. Например, какую долю в растворе кислоты и воды занимает кислота, чтобы понять, сильнодействующая она или нет. Эта доля, это отношение, называют концентрацией вещества (например A) в смеси/растворе/сплаве и обозначается буквой c.

Концентрацию обычно указывают в процентах, но в математических расчётах используют десятичные дроби. Например, раствор перекиси водорода с концентрацией 3% означает, что его концентрация c = 0.03 в десятичной форме.

Ну и конечно же квадратные уравнения используются и в самой математике. Множество занятных математических вопросов приводит к появлению таких уравнений, причем и в алгебре, и в геометрии! Вот несколько примеров из обеих областей.