Страница

Нулевые множители

Простой и крайне эффективный способ решать уравнения, состоящие из набора множителей (скобок), произведение которых равно нулю. Этот метод надо знать, так как очень много разных типов уравнений сводится к этому виду.

Связи:

Не умеете решать элементарные уравнения, абсолютно точно не сможете решить и эти.
Правило одинакового действия
Решение уравнения

Статистика:

  • Утверждение1
  • Задача1
  • Обновлено

Скобки и ноль

Может показаться, что умение решать элементарные уравнения открывает перед нами все двери и нам теперь по плечу. Это не совсем так. Пользуясь правилом одинакового действия мы действительно можем сделать очень многое, но существует множество уравнений, для решения которых нужно прибегнуть к хитрости, а не какому-то алгоритму. Вот пара примеров:
(x−1)(x−2)=0(x-1)(x-2) = 0
2x(10+x)(2x−1)=0 2x(10+x)(2x-1) = 0
Просто раскрыть скобки и изолировать x с одной стороны, что может быть проще?! Ну давайте попробуем:
x2−2x−x+2=0x2−3x+2=0???x^2 - 2x - x + 2 = 0 \\ x^2 - 3x + 2 = 0 \\ \text{???}
2x(20x−10+2x2−x)=02x(2x2+19x−10)=04x3+38x2−20x=0??? 2x(20x - 10 + 2x^2 - x) = 0 \\ 2x(2x^2 + 19x - 10) = 0 \\ 4x^3 + 38x^2 - 20x = 0 \\ \text{???}
Пу-пу-пу… Что-то не складывается. Много переменных получается, причём в разных степенях, что делает невозможным приводить подобные слагаемые. Мы только что открыли для себя целый класс уравнений, которые не поддаются элементарному методу решения. Так как же их решать?

Логика решения

А решаются подобные уравнения очень просто! Для начала обратите внимание на вид таких уравнений. Все они представляют собой набор множителей, произведение которых обязательно равно нулю:
(x−1)(x−2)=0(x−1)⏟Множитель 1⋅(x−2)⏟Множитель 2=0(x-1)(x-2) = 0 \\ \underbrace{(x-1)}_{\text{Множитель 1}} \cdot \underbrace{(x-2)}_{\text{Множитель 2}} = 0
2x(10+x)(2x−1)=0(2x)⏟Множитель 1⋅(10+x)⏟Множитель 2⋅(2x−1)⏟Множитель 3=0 2x(10+x)(2x-1) = 0 \\ \underbrace{(2x)}_{\text{Множитель 1}} \cdot \underbrace{(10+x)}_{\text{Множитель 2}} \cdot \underbrace{(2x-1)}_{\text{Множитель 3}} = 0
Мы знаем, что всё, что угодно, при умножении на ноль даёт в результате ноль, и совершенно неважно, число это, скобка какая-то, выражение с переменными. Все эти данные уничтожаются, и получается ноль:
5⋅0=05 \cdot \red{0} = 0
22⋅0=0 \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \red{0} = 0
0⋅(x−2)=0 \red{0} \cdot (x-2) = 0
Мы можем использовать этот замечательный факт. Нам совсем не обязательно решать всё уравнение целиком. Мы знаем, что должен получиться ноль, а левая часть это сплошь умножения. Достаточно хотя бы один из множителей сделать равным нулю, и он сразу же обнулит все остальные множители и пофиг, какие там числа получатся!
Согласно этой логике уравнение (x – 1)(x – 2) = 0 разбивается на два элементарных подуравнения:
Давайте проверим два найденных корня прямой подстановкой:
1(1−1)⋅(1−2)=00⋅(−1)=00=0\boxed{\textbf{1}} \quad (\brand{1} - 1) \cdot (\brand{1} - 2) = 0 \\ \red{0} \cdot (-1) = 0 \\ 0 = 0
2(2−1)⋅(2−2)=01⋅0=00=0 \boxed{\textbf{2}} \quad (\brand{2} - 1) \cdot (\brand{2} - 2) = 0 \\ 1 \cdot \red{0} = 0 \\ 0 = 0
Получили верные равенства, что доказывает правильность найденных корней. Как видите, нам совершенно неважно, что там получится в остальных множителях, это «что-то» всё равно будет умножено на ноль и в итоге получится ноль.
Решим таким же образом и второе уравнение:
Проверяем корни подстановкой:
12⋅0⋅(10+0)⋅(2⋅0−1)=00⋅10⋅(−1)=00=0\boxed{\textbf{1}} \quad 2 \cdot \brand{0} \cdot (10 + \brand{0}) \cdot (2 \cdot \brand{0} - 1) = 0 \\ \red{0} \cdot 10 \cdot (-1) = 0 \\ 0 = 0
22⋅(−10)⋅(10+−10)⋅(2⋅(−10)−1)=0−20⋅0⋅(−21)=00=0 \boxed{\textbf{2}} \quad 2 \cdot (\brand{-10}) \cdot (10 + \brand{-10}) \cdot (2 \cdot (\brand{-10}) - 1) = 0 \\ -20 \cdot \red{0} \cdot (-21) = 0 \\ 0 = 0
32⋅12⋅(10+12)⋅(2⋅12−1)=01⋅212⋅0=00=0 \boxed{\textbf{3}} \quad 2 \cdot \brand{\frac{1}{2}} \cdot \left(10 + \brand{\frac{1}{2}}\right) \cdot \left(2 \cdot \brand{\frac{1}{2}} - 1\right) = 0 \\ 1 \cdot \frac{21}{2} \cdot \red{0} = 0 \\ 0 = 0
Убедились, что все три найденных числа действительно являются корнями уравнения.

Метод нулевых множителей

Как видите, даже к сложным уравнениям можно подобрать ключик, если пользоваться математическими свойствами. Этот метод работает как часы и применяется очень часто и в школьной, и в высшей математике. У него нет какого-то общепринятого названия. Чтобы раз за разом не повторяться и не описывать способ его действия, давайте назовём его «методом нулевых множителей»:

Метод нулевых множителей

Любое уравнение, состоящее из набора множителей (скобок), произведение которых равно нулю, можно решить, если по отдельности приравнять к нулю каждый из множителей.
Доказательство

Отработка метода нулевых множителей

😀
Ликбез
Решите уравнение:
(j−638)(j+200)=0(j-638)(j+200) = 0
Нулевые множители