Основы математикиУравненияКвадратные уравнения

Формула корней квадратного уравнения

Понятный вывод общей формулы корней квадратного уравнения с подробными объяснениями каждого шага. Пояснение, что такое дискриминант, откуда он взялся и почему по нему можно узнать количество корней.
Ключевые элементы:
Связи:
Формула корней квадратных уравнений получается через выделение полного квадрата, поэтому уметь использовать этот метод надо обязательно!
Добавление и компенсация
Статистика:
Термин2
Утверждение1
Важно2
Задача14
Статья
Конспект
Практика

Общие формулы корней

Общие формулы решений (корней) уравнений позволяют вообще не решать уравнение, а просто подставить нужные числа вместо коэффициентов и получить корни напрямую! Такие формулы очень полезны в случае сложных уравнений, таких как квадратные, для обычного решения которых требуется выполнить целый набор действий.
Алгоритм решения любого квадратного уравнения
Прямой вывод формулы путём выделения полного квадрата. Если вам нужны более подробные объяснения, в статье есть детальный разбор каждого шага.
ДействиеУравнение
1Записываем в общем виде.Ax2+Bx+C=0\displaystyle Ax^2 + Bx + C = 0
2Делим обе части равенства на A.x2+BAx+CA=0\displaystyle x^2 + \frac{B}{A}x + \frac{C}{A} = 0
3Переносим свободный член в правую часть.x2+BAx=−CA\displaystyle x^2 + \frac{B}{A}x = -\frac{C}{A}
4Добавляем и компенсируем двойку для выделения полного квадрата.x2+2⋅xBA⋅12=−CA\displaystyle x^2 + \yellow{2} \cdot x \frac{B}{A} \cdot \yellow{\frac{1}{2}} = -\frac{C}{A}
5Добавляем и компенсируем b2b^2 для выделения полного квадрата.x2+2⋅x⋅B2A+(B2A)2⏟a2+2ab+b2=(a+b)2−(B2A)2=−CA\displaystyle \underbrace{x^2 + 2\cdot x \cdot \frac{B}{2A} + \yellow{\left( \frac{B}{2A} \right)^2}}_{\small a^2 + 2ab + b^2 = (a+b)^2} - \yellow{\left( \frac{B}{2A} \right)^2} = -\frac{C}{A}
6Выделяем полный квадрат в левой части.(x+B2A)2=−CA+(B2A)2\displaystyle \left( x + \frac{B}{2A} \right)^2 = -\frac{C}{A} + \left( \frac{B}{2A} \right)^2
7Приводим правую часть к общему знаменателю.(x+B2A)2=B2−4AC4A2\displaystyle \left( x + \frac{B}{2A} \right)^2 = \frac{B^2 - 4AC}{4A^2}
8Вводим понятие дискриминанта.(x+B2A)2=D4A2\displaystyle \left( x + \frac{B}{2A} \right)^2 = \frac{\brand{D}}{4A^2}
9Берём квадратный корень из обеих частей (если D≥0D \ge 0).x1,2+B2A=±D2A\displaystyle x_{1,2} + \frac{B}{2A} = \pm \frac{\sqrt{D}}{2A}
10Изолируем x и получаем готовую формулу.x1,2=−B±D2A\displaystyle x_{1,2} = \frac{-B \pm \sqrt{D}}{2A}

Дискриминант

Число D, которое высчитывается из коэффициентов квадратного уравнения в общем виде Ax2+Bx+C=0Ax^2 + Bx + C = 0 по формуле:
D=B2−4ACD = B^2 - 4AC
По дискриминанту можно без решения уравнения целиком заранее понять, есть ли у него корни или нет. Если дискриминант отрицательный D < 0, значит, корней уравнение не имеет.
Дискриминант напрямую используется в формуле корней квадратного уравнения.

Формула корней квадратного уравнения

Для любого квадратного уравнения в общем виде:
Ax2+Bx+C=0,A≠0Ax^2 + Bx + C = 0, \quad A \neq 0
Можно найти особое число, дискриминант D, по формуле:
D=B2−4ACD = B^2 - 4AC
Дискриминант показывает, сколько корней имеет квадратное уравнение:
  • D < 0 — квадратное уравнение не имеет корней
  • D = 0 — квадратное уравнение имеет один корень
  • D > 0 — квадратное уравнение имеет два различных корня
    • Корни квадратного уравнения находятся по формуле:
    x=−B±D2A\boxed{x = \frac{-B \pm \sqrt{D}}{2A}}

    Примеры решения квадратных уравнений

    👀
    Пример
    Решите квадратное уравнение с помощью общей формулы корней.
    x2−2x−8=0x^2 - 2x - 8 = 0

    Биквадратное уравнение

    Особый вид уравнений четвёртой степени, которые можно записать в общем виде:
    Ax4+Bx2+C=0,A≠0Ax^4 + Bx^2 + C = 0, \quad A \neq 0
    Примеры:
    x4+16x2+55=0x^4 + 16x^2 + 55 = 0
    12y2−3y4=1 \frac{1}{2}y^2 - \sqrt{3}y^4 = 1
    5=z(z3−23z) 5 = z(z^3 - 2\sqrt{3}z)
    Такие уравнения имеют до четырёх корней и очень просто решаются сведением к квадратному уравнению через подстановку t=x2t = x^2:
    At2+Bt+C=0At^2 + Bt + C = 0

    Примеры решения биквадратных уравнений

    😀
    Ликбез
    Решите биквадратное уравнение:
    2x4−3x2+1=02x^4 - 3x^2 + 1 = 0
    Формула корней квадратного уравнения