Основы математикиУравненияКвадратные уравнения

Теорема Виета

Дополнение
Две простые и очень полезные формулы, которые связывают корни и коэффициенты квадратного трёхчлена. Они позволяют быстро проверять корни, составлять уравнения и изучать особые виды квадратных уравнений.
Ключевые элементы:
Связи:
Запись квадратного трёхчлена через множители напрямую приводит к формулам Виета, поэтому раскладывать на множители надо уметь обязательно!
Разложение квадратного трёхчлена на множители
Разложение «вручную»
Статистика:
Утверждение1
Важно3
Задача13
Статья
Конспект
Практика
Вывод формул Виета

Теорема Виета

Корни x1x_1 и x2x_2 квадратного трёхчлена Ax2+Bx+CAx^2 + Bx + C связаны с его коэффициентами двумя простыми формулами, которые называют формулами Виета:
{x1+x2=−BAx1x2=CA\begin{cases} x_1 + x_2 = -\dfrac{B}{A} \\ x_1x_2 = \dfrac{C}{A} \end{cases}
Не существует никаких других двух чисел, кроме самих корней, которые удовлетворяли бы этим формулам.
  • Так «формулы Виета» или «теорема Виета»?
    Можно и так, и так. Вас поймут в любом случае. Но вообще «формулы Виета» это, логично, конкретно два равенства, а «теорема Виета» в целом и про связь корней с коэффициентами, и про отсутствие других чисел.
  • Прямая и обратная теоремы
    Во многих учебных материалах теорему Виета разделяют на «прямую» или просто «теорему Виета», которая про связь корней с коэффициентами, и «обратную теорему Виета», которая про то, что только корни удовлетворяют этим формулам. Забейте на это и просто используйте термин «теорема Виета» для обоих утверждений, иначе будете путаться, а оно вам надо?
  • Как запомнить формулы?
    Учить наизусть их не обязательно. Когда нужно просто раскройте скобки в A(x−x1)(x−x2)A(x-x_1)(x-x_2) и сразу получите формулы. Если очень надо, то просто запомните, что произведение двух отрицательных констант −x1-x_1 и −x2-x_2 даст свободный член C. Коэффициент A вечно мешается под ногами, поэтому приходится на него делить. Останется только отрицательное –B для суммы корней.

    • Применение теоремы Виета

    Основная ценность формул Виета в том, что они простым и прямым образом связывают корни квадратного уравнения с его коэффициентами. Это можно использовать самыми разными способами:

    Быстрая проверка корней

    👀
    Пример
    Формулы Виета позволяют быстро проверять, являются ли данные числа корнями квадратного уравнения.
    Обычно проверка корней требует подстановки каждого числа в уравнение и проверки, получается ли в итоге верное равенство.
    Проверьте, является ли пара чисел 8 и 3 корнями следующего квадратного уравнения:
    x2−10x+16=0x^2 - 10x + 16 = 0

    Составление уравнений по корням

    👀
    Пример
    Формулы Виета позволяют составлять квадратные уравнения «задом наперед», то есть из известной пары корней получить квадратное уравнение. Это очень часто используют учителя для составления уравнений «на отработку» для учеников.
    Составьте квадратное уравнение с корнями 2\sqrt2 и −2-\sqrt2.

    Связь коэффициентов через связь корней

    👀
    Пример
    Формулы Виета позволяют «перенести» связь между корнями в связь между коэффициентами в квадратном трёхчлене. Это помогает понять, как должны выглядеть квадратные трёхчлены с необычными свойствами корней.
    Какие ограничения имеют коэффициенты квадратных уравнений, у которых один корень в два раза больше другого? Составьте три таких уравнения с конкретными числами.
    Теорема Виета