Выделение полного квадрата

Мы уже научились определять, является ли уравнение квадратным. Даже научились решать их упрощённые виды — неполные квадратные уравнения. Но хватит уже полумер! Пора научиться решать любые квадратные уравнения! И в этом нам поможет процесс, который называется выделением полного квадрата.

Есть две замечательные, очень полезные и часто применяемые формулы, которые называются «квадратом суммы» и «квадратом разности» (не путать с «разностью квадратов»!). Их даже формулами назвать сложно, это просто две разные записи одного и того же. Выглядят они вот так:

Это две из трёх формул сокращённого умножения (ФСУ). В их верности вы можете убедиться, если просто раскроете скобки в левой части равенства и приведёте подобные слагаемые.

Используя какую-то из этих формул, мы «распаковываем» скобку в квадрате, получая развёрнутое выражение. Но раз скобку можно «распаковать» в длинное выражение, то можно ли провернуть и обратный процесс — «запаковать» длинное выражение в скобку с квадратом? Можно. Такой процесс называется выделением полного квадрата!

Последний пример из определения выглядит подозрительно, правда? Это потому что не всегда «запаковка» проходит гладко. Об этом мы поговорим ниже, пока что не суть.

Скорее всего, у вас возник один маленький вопрос… А нафига это делать? Где может пригодиться выделение полного квадрата? Причины на самом деле две:

Мы узнали, что такое выделение полного квадрата и зачем оно нужно. Познакомимся же с этим процессом поближе! Научимся его выполнять самостоятельно!

Прежде чем разводить всю эту абстрактную мишуру и возню с буковками, давайте сначала визуализируем процесс. Прямо как в старые добрые, когда математикой занимались «деды» Евклид и Пифагор. И вам сразу станет понятно, почему процесс назвали «выделением полного квадрата».

Начнём с вот такого развёрнутого выражения:

Попробуем запаковать его в скобку с квадратом, то есть выделить полный квадрат. Для этого представим это развёрнутое выражение как сумму площадей трёх фигур:

Прямоугольник с площадью 6p можно «разрезать» на два одинаковых прямоугольника со сторонами 3 и p. А у квадрата с площадью 9 стороны равны 3. Обратите внимание, как мы намеренно получили два одинаковых числа (тройки) в середине и в правой части выражения!

Теперь все эти фигуры можно совместить друг с другом по сторонам с одинаковыми длинами. Получится составить один большой квадрат со стороной p + 3!

Общая площадь этого большого квадрата равна $(p + 3)\cdot(p+3) = (p+3)^2$. Мы ничего не добавляли и не убирали, только разрезали и переставляли фигуры. Значит, что исходная сумма площадей $p^2 + 6p + 9$, что получившаяся площадь квадрата $(p + 3)^2$ это одно и то же!

В правильности полученного результата можно убедиться, если просто раскрыть скобки и привести подобные слагаемые.

Теперь вы наглядно увидели, что из себя представляет выделение полного квадрата. И название уже не кажется таким загадочным. Потому что мы из имеющихся данных: неизвестного квадрата $p^2$, прямоугольника 6p и ещё одного квадрата $3^2$ собираем или выделяем новый большой квадрат со стороной p + 3.

Как бы хорошо ни выглядела визуализация, у неё есть несколько минусов. Не всегда под рукой есть место, чтобы рисовать прямоугольники и квадраты. Ещё она хорошо работает только с плюсами. Если же некоторые члены вычитаются, то приходится менять подход и всячески извращаться.

И вот как раз здесь нам на помощь приходят абстракции и алгебра. Ей плевать на рисунки, только числа и формулы, только хардкор! Давайте научимся проводить процесс выделения полного квадрата вручную и без всяких рисунков. Начнём с вот такого развёрнутого выражения:

Для начала, надо понять, к какой формуле сокращённого умножения можно привести это выражение: квадрату суммы $(a+b)^2$ или квадрату разности $(a-b)^2$. Видим, что в центре у нас стоит минус, а значит будем запаковывать в квадрат разности $(a-b)^2$.

Перепишем это выражение так, чтобы оно приняло вид $a^2 - 2ab + b^2$ (что-то в квадрате минус два умножить на что-то плюс что-то в квадрате). В нашем случае $25p^2$ можно представить в виде $(5p)^2$. В центре число –20p можно представить как $-2 \cdot 5p \cdot 2$. Справа число 4 можно представить как $2^2$.

Мы успешно привели выражение к виду развёрнутой формулы квадрата разности. Замечаем, что роль a в этом выражении играет 5p, а роль b — число 2. Значит, мы можем запаковать это выражение в квадрат разности $(a-b)^2$:

Выделение полного квадрата прошло успешно и без всяких рисунков!

Потренируйтесь выполнять этот процесс на нескольких примерах, чтобы привыкнуть к нему:

Помните тот странный последний пример из определения? Почему-то там рядом со скобкой в квадрате оказался некрасивый «хвост» в виде –1/4. Вот сейчас с этим и разберёмся. До сих пор все данные для выделения полного квадрата были заложены в исходном выражении. Но бывает и так, что данных не хватает. Рассмотрим такой пример:

Видим плюс, значит, можно это выражение попробовать запаковать в квадрат суммы $(a+b)^2$. Для этого его надо привести к виду $a^2 + 2ab + b^2$. Слева у нас уже есть $x^2$, значит a = x. А вот дальше начинаются проблемы. Двойки для 2ab у нас нет, как и b с $b^2$. Встречаются такие ситуации постоянно.

К счастью, нам никто не мешает добавить недостающие данные и сразу их компенсировать, чтобы общее значение выражения не изменилось. Например, мы можем добавить умножение на 2 и прямо там же разделить на 2. Финальное значение не изменилось, но нужные данные мы добавили:

У нас уже есть a, то есть x. Есть и 2ab, то есть $2 \cdot x \cdot \frac{5}{2}$. Тогда b — это 5/2. Чтобы получить «запаковываемую» форму квадрата суммы, осталось только прибавить $b^2$, то есть 25/4, и сразу же его вычесть, чтобы финальное значение не изменилось:

Выделение полного квадрата прошло успешно, пускай у нас и остался «хвостик» в виде лишних данных. Этот «хвост» компенсирует всё, что мы понадобавляли, чтобы выделить полный квадрат:

Как видите, мы можем добавлять вообще любые данные, которые нам нужны. Главное не забывать их сразу же компенсировать! На самом деле добавление данных для приведения выражений к нужному виду — это мощнейший и регулярно применяющийся приём во всей математике. Казалось бы — мы наоборот захламляем выражение, добавляя лишние данные, а вот и нифига, ведь часть этих данных окажется «запакованной»!

Потренируйтесь проводить расширенный процесс выделения полного квадрата с добавлением необходимых данных:

Примите поздравления, вы официально научились в любой ситуации выделять полный квадрат! Правда классно, да? Не видно счастливого лица! Радуйтесь сильнее!

Возможно, вы этого даже не заметили, но вы уже научились решать квадратные уравнения, причём любые! Дело в том, что выделение полного квадрата позволяет очень легко перейти от квадратного уравнения к обычному линейному (без степеней), которое решается элементарно. Попробуем решить наше первое в жизни полное квадратное уравнение:

Для начала выделим полный квадрат выражения в левой части уравнения. Данных для выделения нам не хватает, но мы уже умеем работать с такими ситуациями.

Изолируем полный квадрат, то есть оставим его в одиночестве с одной части уравнения, а все остальные данные перенесем в другую. Для этого по правилу одинакового действия прибавим к обеим частям уравнения число 16:

Для удобства заменим скобку (x + 3) на переменную t (от слова temporary — «временно», а так-то букву можно было любую выбрать):

Теперь минимально подключаем мозги. Какое-то число t возводят в квадрат, то есть умножают само на себя, и получают 16. Что же это за число такое? Конечно, это либо 4, либо –4! Так мы и получаем два возможных значения для t:

Вот только ищем мы не t, а x. Поэтому производим обратную замену, решаем два под-уравнения и получаем два корня исходного уравнения:

Поздравляю, вы только что решили своё первое полное квадратное уравнение! Уравнение $x^2 + 6x - 7 = 0$ имеет два решения: 1 и –7. В правильности этого решения можно убедиться, если подставить их в исходное уравнение и получить верное равенство.

Попробуем порешать ещё квадратных уравнений и посмотреть, какие сюрпризы они могут преподнести. А они ещё как могут, и вы в этом сейчас сами убедитесь:

Вот и всё! Теперь вы умеете решать любые квадратные уравнения! Разница с элементарными уравнениями, конечно, большая. Пришлось пройти целый подготовительный путь из знакомства с квадратными уравнениями, решения неполных их видов и освоения искусства выделения полного квадрата.

В дальнейших материалах мы выведем универсальные общие формулы решения квадратных уравнений, которые применять гораздо удобнее, чем каждый раз выделять полный квадрат. Также изучим интересные свойства квадратных трехчленов и уравнений. Так что не переключайтесь, будет интересно!