Основы математикиУравненияКвадратные уравнения

Выделение полного квадрата

Процесс «запаковки» развёрнутого выражения в короткую скобку в квадрате. С его помощью можно решить любое квадратное уравнение! Разберёмся, как его проводить на подробных и наглядных примерах с визуализацией.
Ключевые элементы:
Связи:
Статистика:
Термин1
Важно1
Задача11
Статья
Конспект
Практика
Визуализация процесса выделения полного квадрата
Частный случай: x2+bx=(x+b2)2−(b2)2x^2 + bx = \left(x + \frac{b}{2}\right)^2 - \left(\frac{b}{2}\right)^2

Выделение полного квадрата

Процесс «запаковки» развёрнутого выражения в скобку во второй степени (в «квадрате»):
Примеры:
x2+2x+1⇒(x+1)2x^2 + 2x + 1 \Rightarrow \green{(x + 1)^2}
16−8y+y2⇒(4−y)2 16 - 8y + y^2 \Rightarrow \green{(4 - y)^2}
t2−t⇒(t−12)2−14 t^2 - t \Rightarrow \green{\left(t - \frac{1}{2}\right)^2} - \frac{1}{4}
Зачем выделять полный квадрат?
  • 1
    Позволяет решать любые квадратные уравнения.
  • 2
    Для упрощения выражений. До выделения полного квадрата неизвестная встречается в выражении дважды — во второй и в первой степени.
    9x2Раз+6xДва+19\underset{\text{Раз}}{\red{x^2}} + 6\underset{\text{Два}}{\red{x}} + 1
    После выделения полного квадрата неизвестная встречается только один раз. Это может быть полезно не только для решения уравнений, но и для других задач.
    (3xРаз+1)2(3\underset{\text{Раз}}{\brand{x}} + 1)^2
    • Иногда выделить полный квадрат можно напрямую, в один ход. Так получается сделать, когда выражение уже имеет развёрнутый вид a2±2ab+b2a^2 \pm 2ab + b^2:

    Выделение полного квадрата

    👀
    Пример
    Алгебраически выделите полный квадрат в выражении:
    x2+10x+25x^2 + 10x + 25
    Но бывает и так, что данных для выделения полного квадрата недостаточно. Тогда приходится их добавлять и не забывать компенсировать:

    Выделение полного квадрата с неполными данными

    👀
    Пример
    Выделите полный квадрат в выражении, добавляя и компенсируя данные:
    x2−xx^2-x
    Выделение полного квадрата позволяет решать любые квадратные уравнения:

    Квадратные уравнения через полный квадрат

    👀
    Пример
    Решите квадратное уравнение при помощи выделения полного квадрата:
    x2−2x−35=0x^2 - 2x - 35 = 0
    Выделение полного квадрата