Основы математикиУравненияКвадратные уравнения

Неполные квадратные уравнения

Неполные квадратные уравнения — простейшие формы квадратных уравнений, в которых отсутствуют коэффициент B, C или оба сразу. Разберемся, как их правильно решать в каждом отдельном случае.
Ключевые элементы:
Связи:
Статистика:
Термин1
Утверждение3
Важно1
Задача7
Статья
Конспект
Практика

Что это такое?

Вы уже познакомились и научились распознавать квадратные уравнения. Теперь пришло время научиться их решать. Прежде чем браться за решение полноценных квадратных уравнений общего вида, давайте сначала начнём с чего-нибудь попроще. Бывает так, что у квадратного уравнения отсутствуют какие-то части из общего вида. Такие квадратные уравнения называются неполными.

Неполное квадратное уравнение

Квадратное уравнение, у которого равен нулю коэффициент B или C или оба сразу:
Примеры:
10x2=0⏟B=0 и C=0\underbrace{10x^2 = 0}_{B = 0 \ и \ C = 0}
x2+x=0⏟C=0 \underbrace{x^2 + x = 0}_{C = 0}
3x2−8=0⏟B=0 \underbrace{3x^2 - 8 = 0}_{B = 0}
А что если нулю равен коэффициент A? Такое тоже может быть, но тогда по определению это будет уже не квадратное уравнение, ведь пропадёт то, что делает его «квадратным» — x2x^2!

Решение неполных квадратных уравнений

Хорошая новость состоит в том, что любой из трех видов неполных квадратных уравнений решается очень просто, без использования каких-либо хитростей или трюков! Давайте разберем каждый случай по отдельности.

Если и «B», и «C» равны нулю

Самый простой из всех трех видов неполных квадратных уравнений — когда оба коэффициента B и C равны нулю:
8x2=08\brand{x^2} = 0
−72x2=0 -\frac{7}{2}\brand{x^2} = 0
2+log⁡29999−563x2=0 \frac{\sqrt{2} + \log_2{9}}{999 - 56^3}\brand{x^2} = 0
Абсолютно не важно, что там стоит рядом с x2x^2. Тут суть в том, что это «что-то» умножается на наше неизвестное, и в итоге должен получиться ноль. Как со 100% гарантией получить ноль при умножении? Очень просто: ноль получится, если само неизвестное будет нулём! Уравнение всегда имеет единственное решение:
8⋅0=0x=08 \cdot \brand{0} = 0 \\ \boxed{x = 0}
−72⋅0=0x=0 -\frac{7}{2} \cdot \brand{0} = 0 \\ \boxed{x = 0}
2+log⁡29999−563⋅0=0x=0 \frac{\sqrt{2} + \log_2{9}}{999 - 56^3} \cdot \brand{0} = 0 \\ \boxed{x = 0}

Корень квадратного уравнения при «B» = 0 и «C» = 0

Любое неполное квадратное уравнение с нулевыми коэффициентами B и C всегда имеет единственное решение x = 0 и пофиг на то, чему равен коэффициент A!
Доказательство

Если «C» равен нулю

Следующий вид неполных квадратных уравнений — когда коэффициент C равен нулю. Для их решения достаточно владения правилом одинакового действия и умения решать уравнения из набора множителей, равных нулю.

Квадратные уравнения при «C» = 0

😀
Ликбез
Решите уравнение:
x2+5x=0x^2 + 5x = 0

Корни квадратного уравнения при «C» = 0

Любое неполное квадратное уравнение с нулевым коэффициентом C всегда имеет два корня, которые можно найти по формулам:
Доказательство
Польза общей формулы в том, что не нужно каждый раз выносить за скобки и делать другие преобразования. Достаточно лишь взглянуть на уравнение, определить коэффициенты A и B и сразу подставить их в формулу.
0=x+x2x1=0x2=−11=−10 = x + x^2 \\ \boxed{x_1 = 0} \\ \boxed{x_2 = -\frac{1}{1} = -1}
−16x=4x2x1=0x2=−−164=4 -16x = 4x^2 \\ \boxed{x_1 = 0} \\ \boxed{x_2 = -\frac{-16}{4} = 4}
12x2+20x=0x1=0x2=−2012=−201⋅21=−40 \frac{1}{2}x^2 + 20x = 0 \\ \boxed{x_1 = 0} \\ \boxed{x_2 = -\frac{20}{\frac{1}{2}} = -\frac{20}{1}\cdot\frac{2}{1} = -40}

Если «B» равен нулю

Последний вид неполных квадратных уравнений — когда нулю равен коэффициент B, «середина» уравнения пропадает, и у нас остаётся только Ax2Ax^2 наедине с каким-то свободным членом C. Решаются они очень просто. Достаточно обыкновенного понимания того, что такое квадратный корень и как его извлекать.

Квадратные уравнения при «B» = 0

😀
Ликбез
Решите уравнение:
2x2−18=02x^2 - 18 = 0

Корни квадратного уравнения при «B» = 0

Любое неполное квадратное уравнение с нулевым коэффициентом B возможно (если берется корень) имеет два корня, которые можно найти по формулам:
Доказательство
Теперь можно использовать выведенную общую формулу и моментально считать корни:
x2−16=0x1,2=±−−161x1,2=±16x1,2=±4x^2 - 16 = 0 \\ x_{1,2} = \pm \sqrt{-\frac{-16}{1}} \\ x_{1,2} = \pm \sqrt{16} \\ \boxed{x_{1,2} = \pm 4}
3x2+12=0x1,2=±−123x1,2=±−4(нет решений) 3x^2 + 12 = 0 \\ x_{1,2} = \pm \sqrt{-\frac{12}{3}} \\ x_{1,2} = \pm \sqrt{-4} \\ \boxed{\text{(нет решений)}}
5x2−9=0x1,2=±−−95x1,2=±95x1,2=±35 5x^2 - 9 = 0 \\ x_{1,2} = \pm \sqrt{-\frac{-9}{5}} \\ x_{1,2} = \pm \sqrt{\frac{9}{5}} \\ \boxed{x_{1,2} = \pm \frac{3}{\sqrt{5}}}

Как применять?

Мы разобрались, как решать все виды неполных квадратных уравнений. Никаких хитрых трюков или громоздких преобразований. Было довольно просто, правда? Более того, мы даже вывели общие формулы корней для каждого вида неполных квадратных уравнений.

Не зубрите общие формулы!

Может показаться, что раз мы вывели общие формулы, то их нужно обязательно запомнить. Это не так. Не учите их. Большинство людей их даже не помнит. Самое важное — уметь быстро заметить, что уравнение неполное (состоит из одного или двух слагаемых), а значит, решается быстро и просто!
Ах, если бы так просто можно было решать и квадратные уравнения в общем виде! Но там всё несколько сложнее…
Неполные квадратные уравнения