Формула корней квадратного уравнения

Каждый раз при решении квадратного уравнения решать мини-головоломку с выделением полного квадрата неудобно. Хорошо бы иметь общий и универсальный алгоритм действий, который подходит вообще для любого квадратного уравнения. Вот бы просто формулу, в которую числа подставь и получишь ответ.

Оказывается, такая формула существует! Вывести её не очень сложно, хотя для большинства школьников этот процесс и его понимание вызывают существенные трудности. Для этого надо просто выделить полный квадрат не в конкретном уравнении с заранее известными числовыми коэффициентами, а в квадратном уравнении в общем виде, с буквенными коэффициентами вместо чисел!

Но начнём мы издалека, чтобы вы поняли, как и зачем подобные формулы вообще выводятся.

Что вообще значит «общая формула корней уравнения» и как их выводить? Давайте разберёмся на примере вот такого общего (то есть в составе которого есть какие-то буквы вместо чисел) уравнения:

Нам нужно решить это уравнение, но ведь и под буквой A может скрываться любое число! Что же делать?! Да просто относиться к A как к «числу», а значит и делать с ним можно то же самое, что и с числами. В данном случае по правилу одинакового действия мы можем вычесть A из обеих частей уравнения, чтобы избавиться от него в левой части и получить общую формулу для решения уравнения:

Теперь по правилу одинакового действия делим обе части уравнения на 2, чтобы x в левой части остался в одиночестве:

Мы получили общую формулу корней для всех возможных уравнений вида 2x + A = 0! И неважно, какое число скрывается под A, мы всегда можем его подставить в эту формулу и получить решение уравнения!

Точно так же выводилась и общая формула линейных уравнений. А вот ещё несколько примеров с разным количеством используемых коэффициентов:

Теперь, когда вы поняли основную суть и пользу подобных «общих» формул, давайте приступать к выводу общей и не зависящей от конкретных значений коэффициентов формулы корней любого квадратного уравнения!

Всё начинается с приведения квадратного уравнения к общему виду или стандартной форме:

Выделить полный квадрат с имеющимся коэффициентом A невозможно! Нам неизвестен знак числа, которое под этим A прячется (вдруг это число –10?), а значит и взять квадратный корень из этого коэффициента не получится! Поэтому давайте от него избавимся, по правилу одинакового действия разделив обе части уравнения на A. Поделить мы можем, потому что по определению $A \neq 0$, иначе это было бы уже не квадратное уравнение:

По правилу одинакового действия вычитаем из обеих частей «свободный член», то есть тот, у которого нет рядом икса. Это просто балласт, который нам будет только мешать слева выделять полный квадрат:

Слева у нас остаются два слагаемых со знаком +. Значит, можно запаковать в квадрат суммы $a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2$. Но данных для выделения полного квадрата нам не хватает! Нет двойки во втором слагаемом и нет третьего слагаемого, играющего роль $b^2$. Придётся эти данные добавлять и сразу же компенсировать, чтобы не разрушить равенство. Начнём с добавления и компенсации двойки:

Дробь $\frac{B}{2A}$ естественным образом становится b, потому что роль a уже играет x. Для выделения полного квадрата нам не хватает только добавить и компенсировать $b^2$:

Оставляем полный квадрат в левой части и избавляемся от образовавшегося «хвоста», чтобы он оказался в правой части уравнения:

Мы успешно выделили полный квадрат в квадратном уравнении общего вида! Самое сложное уже позади!

Внимательно посмотрите на наш текущий результат:

Вся левая часть находится в квадрате, то есть вся она 100% неотрицательное число. Раз вся левая часть уравнения неотрицательная, то и правая обязана быть неотрицательной, иначе решений никаких просто не будет и получится ложное равенство «неотрицательное = отрицательное»!

Справа в знаменателе 4 умножается на число в квадрате, то есть весь знаменатель тоже 100% положительное число (нулём быть не может, потому что на него нельзя делить). Вот так и получается, что единственное выражение, от которого зависит весь знак правой части, а значит и наличие/отсутствие решений уравнения — это числитель $B^2 - 4AC$!

Этот числитель играет определяющее значение при решении квадратного уравнения. Поэтому его назвали дискриминантом, «различителем». Вот при дискриминации в зависимости от признака (цвета кожи, языка) происходит ущемление прав, а дискриминант в зависимости от своего знака говорит о том, будут ли корни у квадратного уравнения или нет.

Продолжаем вывод общей формулы корней квадратного уравнения. Условимся, что дискриминант D неотрицательный (ноль или положительный), потому что иначе корней точно нет. Заменяем числитель в нашем уравнении на принятое обозначение дискриминанта:

Раз нам точно известно, что слева и справа от знака равенства неотрицательные числа, мы можем извлечь квадратный корень из обеих частей уравнения. Можно сказать и иначе, если «что-то» в квадрате слева равно правой дроби, то исходное выражение без квадрата равно корню из правой части (со знаком плюса или минуса), то есть:

Мы почти у цели. Осталось избавиться от дроби рядом с x:

Приводим правую часть к общему знаменателю:

Ура! Можно открывать шампанское! Мы вывели общую формулу корней любого квадратного уравнения. Достаточно подставить конкретные числа вместо коэффициентов и сразу получить корни. Обратите внимание, что при нулевом дискриминанте корень лишь один, потому что он «обнуляет» вариативную часть формулы с плюсом или минусом:

Обязательно внимательно разберите каждый шаг вывода формул! Повторите эти шаги самостоятельно! Вывод решений квадратного уравнения — это довольно редкий случай в базовой математике, где надо и преобразовывать выражения, и анализировать полученные результаты. Великолепная возможность прокачать свои мозги!

Квадратные уравнения в базовой и высшей математике встречаются сплошь и рядом. Поэтому после того как вы убедились, что осознали и поняли каждый шаг вывода, формулы дискриминанта и корней надо запомнить наизусть. Хотя бы ради того, чтобы каждый раз не тратить целый лист бумаги на их вывод 😂

Но это всё мелочи. У нас на руках появился универсальный алгоритм решения абсолютно любого квадратного уравнения! Не надо больше ничего выделять, ничего подбирать и придумывать. Просто подставляй числа в формулы и получай ответ. Пробуем:

Мы вывели общие формулы корней квадратного уравнения. А если замахнуться покруче? Ведь есть ещё и кубические уравнения, где x уже в третьей степени. Их тоже можно похожим образом изучить и научиться решать? Конечно! Кубические уравнения можно записать в общем виде:

У таких уравнений может быть до трёх разных корней! Очень хорошенько повозившись с формулами и преобразованиями, можно даже вывести общую формулу корней кубических уравнений, которую называют «формулой Кардано» (Джероламо Кардано). Хотя на самом деле метод придумал математик Никколо Тарталья, который и поделился им с Кардано под клятву о молчании. Кардано клятву не сдержал, нарушил обещание и опубликовал формулу под своим именем. Скандал был громким. В любом случае, вы точно никогда не захотите что-то с её помощью считать:

Уравнения четвёртой степени тоже можно решить в общем виде. Для этого надо следовать определённому алгоритму действий, который имеет модное название «метод Феррари» (Лудовико Феррари), который, кстати, был учеником Кардано. Приятного в этом процессе ещё меньше, чем в формуле Кардано.

Разберём особый вид уравнений «высшей» степени, которые можно решить без ужасных и страшных формул! Они элементарным образом сводятся к квадратным. Это далеко не единственный вид таких уравнений, но один из самых простых и часто встречающихся.

Биквадратным оно называется, потому что «би» означает «два». Как бисексуалы, которым нравятся два пола: и мужчины, и женщины. Биквадратное уравнение как-бы дважды квадратное. В квадратном было $x^2$ и $x^1$, в биквадратном степени переменных удвоились и стали $x^4$ и $x^2$. Попробуем их порешать!

Раз всё так хорошо идёт, то можно вообще для любых уравнений любых степеней найти общие формулы корней? Самое удивительное, что это не так! Уравнения четвёртой степени являются абсолютным максимумом, для которого существуют универсальные методы нахождения корней!