Задачи

Формулы сокращенного умножения

Квадрат суммы и разности, разность квадратов, куб суммы и разности — очень полезные формулы, которые позволяют быстро раскладывать или запаковывать выражения со степенями (квадратами, кубами).

Связи:

Статистика:

  • Термин1
  • Утверждение5
  • Важно2
  • Задача28
  • Обновлено
Статья
Конспект
Задачи

Отработка квадрата суммы и разности

😀
Ликбез
Запишите в виде квадрата суммы или разности:
x2+2xy+y2x^2 + 2xy + y^2

Отработка разности квадратов

😀
Ликбез
Запишите в виде произведения двух скобок:
1−a21 - a^2

Отработка куба суммы и разности

😀
Ликбез
Раскройте скобки:
(m+n)3(m + n)^3

Слишком много вопросов

😀
Ликбез
Вставьте правильные числа на места вопросительных знаков.
(3x2+?)2=?+?+16y4(3x^2 + \text{?})^2 = \text{?} + \text{?} + 16y^4

Простая разность

😀
Ликбез
Не вычисляя никаких квадратов, найдите, чему равно 912−90291^2 - 90^2.

Одно через другое

😀
Ликбез
Предположим, что вам известны только формулы квадрата и куба суммы:
(a+b)2=a2+2ab+b2(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \\ (a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3
Выведите с их помощью формулы квадрата и куба разности (a−b)2(a-b)^2 и (a−b)3(a-b)^3.

Неудобные минусы

Прием
😀
Ликбез
Выясните, работает ли формула квадрата разности для случая, когда слагаемое с минусом стоит на первом месте, а не на втором:
(−a+b)2=?(-a+b)^2 = \text{?}

Докажи то, докажи сё…

😀
Ликбез
Докажите, что разность квадратов двух последовательных натуральных чисел равна сумме этих чисел.

Простое произведение

Красивая
🤔
Нормальный
Не выполняя умножения напрямую найдите, чему равно произведение 201⋅199201 \cdot 199.

Простая разность с произведением

🤔
Нормальный
Вычислите выражение 434402−43438⋅4344243440^2 - 43438 \cdot 43442.

Корневой переполох

🤔
Нормальный
Найдите значение выражения:
(5+6+7)(5+6−7)(5−6+7)(−5+6+7)(\sqrt5 + \sqrt6 + \sqrt7)(\sqrt5 + \sqrt6 - \sqrt7)(\sqrt5 - \sqrt6 + \sqrt7)(-\sqrt5 + \sqrt6 + \sqrt7)

Время упрощать

🤔
Нормальный
Упростите выражение:
4x2+12x+94x2−9\frac{4x^2 + 12x + 9}{4x^2 - 9}

Степень десятки

🤔
Нормальный
Какое число надо подставить вместо x, чтобы равенство выполнялось?
10x=(10624+25)2−(10624−25)210^x = \left( 10^{624} + 25 \right)^2 - \left( 10^{624} - 25 \right)^2

Дробная змейка

Красивая
🤔
Нормальный
Упростите выражение:
(1−122)(1−132)(1−142)⋯(1−1n2)\left( 1 - \frac{1}{2^2} \right) \left( 1 - \frac{1}{3^2} \right) \left( 1 - \frac{1}{4^2} \right) \cdots \left( 1 - \frac{1}{n^2} \right)
Чему оно равно при n = 100?

Разность показателей

🤔
Нормальный
2x−2y=12^x - 2^y = 1
4x−4y=53 4^x - 4^y = \frac{5}{3}
x−y=? x - y = \text{?}

Тайна числа 693

Красивая
🤔
Нормальный
Разность квадратов двух двухзначных чисел, записанных одними и теми же цифрами, равна 693. Найдите эти числа.

Сумма и разность кубов

Прием
🤔
Нормальный
В отличие от квадратов, где имеется особая формула разности квадратов, для кубов существуют аж две формулы: сумма кубов и разность кубов.
a3±b3=(a±b)(a2∓ab±b2)a^3 \pm b^3 = (a \pm b)(a^2 \mp ab \pm b^2)
Раскройте скобки:
(a+1)(a2−a+1)(a + 1)(a^2 - a + 1)

Любое нечетное это разность квадратов

Красивая
🤯
Продвинутый
Докажите, что любое нечетное число может быть записано как разность квадратов каких-то двух чисел. Найдите числа, разность квадратов которых равна 7, 111, 507.

Факторизация куба суммы и разности

🤯
Продвинутый
Получите из развернутых выражений куба суммы и разности их запись через скобки в кубе:
a3+3a2b+3ab2+b3  ⟹  ?(a+b)3a3−3a2b+3ab2−b3  ⟹  ?(a−b)3a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 \overset{\text{?}}{\implies} (a+b)^3 \\ a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3 \overset{\text{?}}{\implies} (a-b)^3

Сложные корни с подвохом

🤯
Продвинутый
Известно, что
x=4(5+1)(54+1)(58+1)(516+1)x = \frac{4}{(\sqrt{5} + 1)(\sqrt[4]{5} + 1)(\sqrt[8]{5} + 1)(\sqrt[16]{5} + 1)}
Чем равняется выражение (1+x)48(1+x)^{48}?

Сверхдлинные числа

🤯
Продвинутый
Известно, что
4382716062=192082000625819236438271606^2 = 192082000625819236
Не проводя возведение в квадрат вручную, найдите, чему равна сумма цифр числа 5617283952561728395^2?
Формулы сокращенного умножения