Формулы сокращенного умножения

В алгебре регулярно встречаются выражения, в которых скобки возводятся в степень, перемножаются друг на друга или стоят в числителе и знаменателе дроби. Упрощать каждое такое выражение с нуля вручную — утомительно и легко допустить ошибку в длинных вычислениях. Попробуйте сами:

Во всех трёх примерах мы раз за разом проводили рутинные действия — раскрытие скобок в каких-то степенях. Результаты раскрытия скобок похоже друг на друга — квадраты, коэффициенты 2 и так далее. Чтобы каждый раз не тратить время на рутинные вычисления вручную умные математики самые часто встречающиеся ситуации разложения изучили и оформили в виде формул. Отсюда и название — формулы сокращенного умножения (ФСУ). Не путать с ФСО и ФСБ!

Начнём с классической ошибки, которую допускают 90% людей, чаще всего школьников, у которых «не очень» с математикой. Ситуация настолько распространенная, что про неё даже отдельный мем есть:

Очень хотелось бы, чтобы последний ответ был именно таким. Так сильно хочется, что у этой мечты о возможности напрямую применить степень к слагаемым $(a+b)^n = a^n + b^n$ есть своё название — «Freshman's Dream», что можно перевести как «Мечта первокурсника». В несбыточности этой мечты можно убедиться очень быстро, попробовав подставить конкретные числа вместо букв:

В меме и первом примере степень равна двум, а выражение $(a+b)^2$ называют «квадратом суммы», потому что ко всей этой сумме a + b применяется квадрат (возведение во вторую степень). Отсюда и название — «квадрат всей суммы». Правильная формула для квадрата суммы $(a+b)^2$ очень похожа на «Мечту первокурсника», но чуть-чуть сложнее. Вывести её можно вручную и очень быстро. Самый прямой способ — напрямую расписать квадрат как двойное произведение и умножить скобку на скобку методом «фонтанчика»:

В обратную сторону, из «суммы» в запакованное «произведение», выводится тоже просто — разбиваем 2ab на два слагаемых и несколько раз подряд производим вынесение общего множителя за скобки:

Второй способ вывода — геометрический. Числа a и b можно представить в виде двух отрезков. Их сумма в квадрате равна площади квадрата со стороной, составленной из этих двух отрезков. Общую площадь можно найти, если сложить площади «составных» фигур: площадь квадрата $a^2$, два прямоугольника с площадями ab и площадь квадрата $b^2$.

С этого момента можно вам больше никогда вручную дважды не перемножать скобки! Достаточно в уме или на бумаге найти три числа слева направо: квадрат первого слагаемого, удвоенное произведение этих слагаемых, квадрат второго слагаемого, а затем просто записать все полученные числа через плюс. Попробуйте сами:

Формула квадрата суммы позволяет не только быстро раскрывать скобки, но и наоборот — запаковывать уже разложенные выражения обратно в «скобку в квадрате», в квадрат суммы. Этот процесс часто называют «выделением полного квадрата» и о нем мы еще поговорим отдельно ниже.

Процесс «запаковки» чуть сложнее разложения. Основная цель — найти a и b, чтобы составить квадрат суммы $(a+b)^2$. Найти их можно двумя способами. Первый и самый быстрый — посмотреть на крайние слагаемые: в простых случаях там сразу видны «красивые» квадраты, которые мгновенно выдают a и b. После этого остаётся лишь убедиться, что 2ab совпадает с центральным слагаемым, и «запаковка» готова.

Второй способ — начинать с центрального слагаемого: оно скрывает в себе всю информацию об a и b. Берём центральное слагаемое, делим его на 2, получаем произведение ab. Остается лишь догадаться, что в нем является a, а что b.

По аналогии с квадратом суммы, «квадратом разности» называют выражение вида $(a-b)^2$. И понятно почему, ведь у нас есть некая разность между двумя числами a – b и мы хотим возвести всю эту разность целиком в квадрат, то есть во вторую степень. Отсюда и получается название — «квадрат всей разности».

Алгеброически формула квадрата разности в «обе стороны» выводится ровно точно так же, как и формула квадрата суммы: раскрываем скобки фонтанчиком в одну сторону или разбиваем удвоенное слагаемое с выносом за скобки общих множителей в другую:

Геометрический вывод тоже возможен. В квадрате суммы мы искали общую площадь большого квадрата со стороной из двух отрезков. Сейчас у нас уже есть большой квадрат со стороной a, и мы укорачиваем его стороны на длину b. Площадь уменьшенного квадрата и будет численно равна $(a-b)^2$:

Как видите, формула квадрата разности отличается от формулы квадрата суммы только изменением первого знака с плюса на минус. Достаточно помнить «плюсовой» её вариант и при необходимости первый встречный знак поменять на минус.

Потренируйтесь с помощью формулы квадрата разности быстро раскрывать скобки и запаковывать выражения обратно. Схема использования этой формулы точно такая, как и квадрата суммы, главное в минусах не запутайтесь. При «запаковке» сумм в скобки делить надо не на 2, а на –2. На этот раз оба упражнения (раскрытие скобок и «запаковку») объединим в одно:

Ранее уже упоминалось о пользе ФСУ в виде возможности быстро перезаписывать выражения как через сумму, так и через произведение. Это позволяет упрощать сложные выражения. Пора привести ещё парочку очень полезных и конкретных примеров применения формул сокращенного умножения.

Практически каждый умеет возводить в квадрат любые числа от 0 до 10. Ну потому что это обычная таблица умножения: $4^2 = 16$, $6^2 = 36$, $9^2 = 81$. У вас ведь нет проблем с таблицей умножения? 👀 Прошаренные в математике ребята и всякие олимпиадники наизусть помнят все квадраты вплоть до 20. Например $11^2 = 121$, $15^2 = 225$, $19^2 = 361$.

Выходит, 99% всех людей что-то про квадраты наизусть знают только в диапазоне от 0 до 20. А что делать, если вам нужно быстро возвести какое-то относительно большое > 15 число в квадрат, не тратя время на умножение столбиком?

В наше современное цифровое время это, конечно, вообще не вопрос — достаешь телефон, врубаешь калькулятор и считаешь. А если телефона нет (например, на экзамене) или за ним надо идти? Вот тут на помощь и приходят формулы квадрата суммы и разности!

Итак, вы просто смотрите, насколько ваше число отстоит от ближайшего «круглого» числа с нулём на конце. Если оно чуть-чуть больше этого «круглого» числа — представьте его как сумму и используйте формулу квадрата суммы. Если чуть-чуть меньше — как разность и используйте формулу квадрата разности. В обоих случаях разложение даст три слагаемых, причём первые два всегда оканчиваются на ноль, что упрощает дальнейшее сложение.

Множество самых разных процессов: в бытовой жизни, в физике, в математике и других науках, сводятся к очень похожим друг на друга равенствам по типу вот таких:

Все они называются «квадратными уравнениями» и задача состоит в том, чтобы определить, какое число «прячется» за буквой. Это должно быть такое число, чтобы при подстановке его вместо буквы слева получился ноль (0 = 0), иначе равенство не будет выполняться!

Ну и какие это числа? Только если пальцем в небо тыкать и пытаться наугад подставлять разные числа. Но все резко упрощается, если заметить, что слева стоят готовенькие развернутые выражения квадрата суммы и разности! Запаковываем их в скобки и получаем:

Теперь все просто! Какое число подставить вместо x, чтобы в сумме с 1 получился ноль? Правильно, вместо x надо подставить –1. А какое число подставить вместо t, чтобы от 6 отнялось это число, и получился ноль? Правильно, вместо t надо подставить 2. Наконец, что подставить вместо z, чтобы в сумме с 12 получился ноль? Надо подставить –6.

Кажется, что мы решили просто какие-то математические головоломки, но на самом деле эти буквы могут обозначать количество купленных пачек печенья, время работы двигателя машины и прочие реальные величины!

Есть ещё одна очень полезная и простая формула сокращенного умножения, которую надо знать наизусть. Называется она «разность квадратов» и записывается буквально так же, как и читается: $a^2 - b^2$ (разность двух квадратов, разность двух чисел в квадрате).

Сходу понять, чему равна разность квадратов $a^2 - b^2$, не получится, поэтому будет удобнее начать с геометрического вывода. Для этого из большего квадрата площадью $a^2$ вырежем меньший квадрат площадью $b^2$. По горизонтали длина отрезка так и останется a, а вот высота уменьшится на b, то есть станет равна a – b. Выступающий кусочек отрежем, развернем и приклеим так, чтобы получился прямоугольник:

Нафига вообще эта формула нужна? А вся её фишка в том, что она позволяет практически на коленке вдвое снизить или повысить степень двух любых выражений. Скоро вы сами убедитесь, сколько всего эта одна простая формула резко упрощает и как лихо она «сворачивает» сложные выражения. Но сначала потренируйтесь просто использовать её на примерах для повышения и понижения степеней:

Все время до этого момента мы игрались с «квадратами», то есть со второй степенью. И получили аж три интересные формулы? квадрат суммы, квадрат разности и разность квадратов. А можно ли пойти дальше? Возможно, существуют удобные формулы для быстрой работы с кубами, то есть с третьей степенью? Конечно же они есть! Учить наизусть не обязательно, но полезно будет хотя бы ознакомиться с ними.

Вообще ФСУ довольно много, но мы затроним только самые базовые — куб суммы и разности. Названия говорят сами за себя. Куб суммы/разности означает, что есть какая-то сумма или разность двух чисел, и вся она взята в куб, то есть в третью степень. Формулы для них выводятся так же, как и для квадрата суммы — раскрытием скобок по «методу фонтанчика»:

Геометрически обе формулы тоже можно вывести. Уже из названия можно понять, что речь будет идти уже о трехмерных фигурах. И собирать мы будем не квадрат, а куб. Выглядит это вот так:

Из этой визуализации сразу становится понятно, откуда в формуле коэффициенты 3 и выражения вида $a^2b$ $ab^2$. Потому что для заполнения всего куба нужно по три параллелепипеда с основаниями $a^2$ и $b^2$ и высотами b и a соответственно.

Наизусть запомнить нужно только три формулы: квадрат суммы $(a + b)^2$, квадрат разности $(a - b)^2$ и разность квадратов $a^2 - b^2$. Они просто вездесущие и абсолютно необходимо уметь их сразу замечать и заменять разложение на скобки или наоброт. А вот формулы с кубами желательно просто уметь узнавать. Вот несколько советов, как проще все эти формулы запоминать:

Заметили, что чем больше степень, тем сложнее и длиннее становятся формулы сокращенного умножения? Можно ли продолжать повышать степень бесконечно? Можно ли найти ультимативную разгадку «Мечты первокурсника»?

На самом деле можно. Существует мега-крутая универсальная формула, которая автоматически выдает формулы сокращенного умножения для абсолютно любой степени! Называется она Бином Ньютона и выглядит вот так:

Вы скорее всего в шоке. Это нормально, формула действительно выглядит страшно, а для её вывода надо разбираться в комбинаторике, в учебнике про которую она и выводится. Причём никакой высшей математики не требуется, и получить её можно на «школьном» уровне знаний!

Так что ответ на вопрос про бесконечное количество формул сокращенного умножения утвердительный. Да, можно бесконечно повышать степень и получать все новые и новые формулы:

Бином Ньютона вообще очень часто встречается в самых разных разделах математики, и в базовой, а в особенности в высшей. Подобно тому, как ФСУ позволяют перегонять суммы в произведения скобок и наоборот для небольших степеней, бином Ньютона позволяет проворачивать это с выражениями любой сложности.