Конспект

Формулы сокращенного умножения

Квадрат суммы и разности, разность квадратов, куб суммы и разности — очень полезные формулы, которые позволяют быстро раскладывать или запаковывать выражения со степенями (квадратами, кубами).

Связи:

Статистика:

  • Термин1
  • Утверждение5
  • Важно2
  • Задача28
  • Обновлено
Статья
Конспект
Задачи
Формулы сокращенного умножения
Квадраты — Знать наизусть
Квадрат суммы и разности(a±b)2=a2±2ab+b2(a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2Примеры
Разность квадратовa2−b2=(a+b)(a−b)a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)Примеры
Кубы — Знать не наизусть, но уметь распознать
Куб суммы и разности(a±b)3=a3±3a2b+3ab2±b3(a \pm b)^3 = a^3 \pm 3a^2b + 3ab^2 \pm b^3Примеры

Формулы сокращённого умножения

Формулы, которые позволяют быстро «разворачивать» компактные выражения со степенями в какое-то разложение или наоборот, «сворачивать» длинные суммы в компактную форму. Эти формулы нужны, чтобы не тратить время на рутинные вычисления вручную.
  • Знак плюс-минус
    Не запоминайте по отдельности 4 формулы: квадрат суммы, квадрат разности, куб суммы и куб разности. Достаточно запомнить 2 формулы, если использовать знак плюс-минус, ведь кроме знаков больше ничего в них не меняется:
    (a±b)2=a2±2ab+b2(a±b)3=a3±3a2b+3ab2±b3(a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2 \\ (a \pm b)^3 = a^3 \pm 3a^2b + 3ab^2 \pm b^3
    В суммах все знаки всегда плюсы. В разности минус всегда идет сразу после первого слагаемого в разложении. В случае куба еще и у последнего слагаемого.
  • Разность квадратов особняком
    Формулы, названия которых начинаются со степени («квадрат …» и «куб …»), имеют похожую форму и их можно вывести естественным образом через раскрытие скобок (a+b)2=(a+b)(a+b)=…(a+b)^2 = (a+b)(a+b) = \ldots
    А вот разность квадратов a2−b2a^2-b^2 стоит особняком. Во-первых, она раскладывается в скобки с плюсом и минусом. Во-вторых из формы a2−b2a^2 - b^2 нельзя естественным и явным образом получить из самой разности произведение (a + b)(a – b).
  • Какая степень — такой и коэффициент
    В квадрате/кубе суммы/разности степень (вторая или третья) встречается и как коэффициент в разложении. Для квадрата суммы/разности это 2, для куба суммы/разности это 3:
    (a±b)2=a2±2ab+b2(a±b)3=a3±3a2b+3ab2±b3(a \pm b)^{\normalsize\brand{2}} = a^2 \pm \brand{2}ab + b^2 \\ (a \pm b)^{\normalsize\brand{3}} = a^3 \pm \brand{3}a^2b + \brand{3}ab^2 \pm b^3
    А еще коэффициент легко вспоминть по геометрическому выводу формул. Для «квадрата …» мы составляем квадрат и в процессе появляются два прямоугольника. А для «куба …» мы составляем куб и в процессе появляются два вида из трех параллелепипедов.
    • Формулы сокращенного умножения